科目代碼、名稱: 871《高等代數(shù)》

一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)試卷滿分值及考試時(shí)間

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成;答案必須寫(xiě)在答題紙(由考點(diǎn)提供)相應(yīng)的位置上。

(三)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

考試內(nèi)容主要包括多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣?yán)碚摗⒍涡?、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間九個(gè)部分。

二、 考查范圍或考試內(nèi)容概要

一、多項(xiàng)式理論： 多項(xiàng)式的整除，最大公因式，多項(xiàng)式的互素，不可約多項(xiàng)式與因式分解，重因式重根的判別，多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根.

重點(diǎn)掌握：重要定理的證明，如多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項(xiàng)式的性質(zhì), 整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理等. 運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)問(wèn)題，如與多項(xiàng)式的互素和不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的證明與應(yīng)用以及用多項(xiàng)函數(shù)方法證明有關(guān)的問(wèn)題.

二、行列式： 行列式的定義、性質(zhì)和常用計(jì)算方法(如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開(kāi)法、Laplace展開(kāi)法、范得蒙行列式法)。

重點(diǎn)掌握：n階行列式的計(jì)算及應(yīng)用.

三、線性方程組：向量組線性相(無(wú))關(guān)的判別(相應(yīng)齊次線性方程組有無(wú)非零解、性質(zhì)判別法、行列式判別法、矩陣秩判別法)。向量組極大線性無(wú)關(guān)組的性質(zhì)、向量組之間秩的大小關(guān)系(向量組(Ι)可由向量組(Π)線性表示，則(Ι)的秩小于等于(Π)的秩)定理2及三個(gè)推論、矩陣的秩(行秩和列秩、矩陣秩的行列式判別法、矩陣秩的計(jì)算)、Cramer法則，線性方程組有(無(wú))解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件(用系數(shù)矩陣的秩進(jìn)行判別、用行列式判別、用方程個(gè)數(shù)判別)、基礎(chǔ)解系的計(jì)算及其性質(zhì)、齊次線性方程組通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu).

重點(diǎn)掌握：向量組線性相(無(wú))關(guān)的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎(chǔ)解系的性質(zhì)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的性質(zhì).

四、矩陣?yán)碚摚壕仃嚨倪\(yùn)算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用(求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩)、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣可逆的條件(與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關(guān)系)、伴隨矩陣及其性質(zhì)、分塊矩陣(包括矩陣乘法的常用分塊方法并證明與矩陣相關(guān)的問(wèn)題)、矩陣的常用分解(如：等價(jià)分解，滿秩分解，實(shí)可逆陣的正交三角分解，Jordan分解)，幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)(如：準(zhǔn)對(duì)角陣，對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等)。

重點(diǎn)掌握：利用分塊矩陣的初等變換證明有關(guān)矩陣秩的等式與不等式，矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些相關(guān)問(wèn)題.

五、二次型理論：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，實(shí)二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法、慣性定律的應(yīng)用，正定、半正定矩陣的判別及應(yīng)用、正定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用.

重點(diǎn)掌握：正定和半正定矩陣有關(guān)的證明，實(shí)二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算.

六、線性空間：線性空間、子空間的定義及性質(zhì)、求線性空間中一個(gè)向量組的秩、求線性(子)空間的基與維數(shù)的方法、基擴(kuò)充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間直和，一些常見(jiàn)的子空間(線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項(xiàng)式空間、函數(shù)空間、線性變換的特征子空間和不變子空間)。

重點(diǎn)掌握：向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的綜合證明，求線性(子)空間的基與維數(shù)的方法，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明.

七、線性變換：線性變換的定義與運(yùn)算，線性變換與n階矩陣的對(duì)應(yīng)定理，矩陣的特征多項(xiàng)式(包括最小多項(xiàng)式)及其有關(guān)性質(zhì)，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無(wú)關(guān)特征向量的判別及最大個(gè)數(shù)，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，特征子空間，不變子空間，核與值域的定理。線性變換(包括矩陣)可對(duì)角化的條件(特征向量判別法，最小多項(xiàng)式判別法)，Hamilton-Caylay定理.

重點(diǎn)掌握：線性變換(包括矩陣)的對(duì)角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換(矩陣)的特征值以及特征向量的性質(zhì)，線性變換的核與值域.

八、λ-矩陣：λ-矩陣的處等變換，λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，處等因子，三種因子之間的關(guān)系，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型理論。

重點(diǎn)掌握：求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。

九、歐氏空間: 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)(柯西-布涅可夫斯基不等式，三角不等式，勾股定理等)。度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，正交變換(正交矩陣)的等價(jià)條件，對(duì)稱變換，求正交矩陣T，使實(shí)對(duì)稱矩陣A正交相似于對(duì)角矩陣。

重點(diǎn)掌握：歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基，Schimidt正交化方法，正交變換和對(duì)稱變換.

參考書(shū)目

《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，北京：高等教育出版社，2003，第三版.