一、考查目標(biāo)

考生應(yīng)按本大綱的要求了解或理解掌握“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)微積分初步、無窮級(jí)數(shù)、空間解析幾何初步、常微分方程的基本概念與基本理論；要求考生系統(tǒng)掌握該課程的基本知識(shí)、基礎(chǔ)理論和基本方法。同時(shí)應(yīng)注意各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決相關(guān)的實(shí)際問題。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷成績及考試時(shí)間

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

各部分內(nèi)容所占分值為：

1.函數(shù)、極限與連續(xù)約15分

2.導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用約30分

3.不定積分、定積分約30分

4.無窮級(jí)數(shù)約15分

5.空間解析幾何約6分

6.多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用約18分

7.重積分及其應(yīng)用約18分

8.常微分方程約18分

（四）試卷題型結(jié)構(gòu)

1.填空題：10小題，每小題3分，共30分

2.計(jì)算題：8大題，每大題15分，共120分

三、考查范圍

（一）函數(shù)

1. 函數(shù)

數(shù)集、區(qū)間和鄰域；函數(shù)概念；函數(shù)表示法；建立函數(shù)關(guān)系。

2. 函數(shù)的一些簡單性態(tài)

函數(shù)的有界性；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的周期性。

3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)；復(fù)合函數(shù)。

4. 初等函數(shù)

基本初等函數(shù)及其圖形；初等函數(shù)；初等函數(shù)的作圖。

（二）極限與連續(xù)

1. 數(shù)列及其極限

數(shù)列；數(shù)列極限；收斂數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)算法則。

2. 函數(shù)極限

自變量趨于無窮大時(shí)的函數(shù)極限；自變量趨于有限值時(shí)的函數(shù)極限；函數(shù)極限的性質(zhì)；無窮小量及其運(yùn)算。

3. 極限的運(yùn)算和兩個(gè)重要極限

極限的四則運(yùn)算；兩個(gè)重要極限；無窮小量的比較。

4. 連續(xù)函數(shù)

函數(shù)的連續(xù)性；間斷點(diǎn)及其分類；連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（三）導(dǎo)數(shù)與微分

1. 導(dǎo)數(shù)概念

導(dǎo)數(shù)的定義；導(dǎo)函數(shù)；導(dǎo)數(shù)的意義；可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系。

2. 求導(dǎo)法則

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用。

3. 隱函數(shù)、參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；高階導(dǎo)數(shù)。

4. 微分

微分概念；微分的基本公式與運(yùn)算法則；微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（四）微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1. 微分中值定理

2. 不定式極限

型不定式極限；

型不定式極限；其他類型不定式極限。

3. 函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)單調(diào)性的判別法；函數(shù)極值的判別法；函數(shù)的最大值與最小值。

4. 函數(shù)圖形的討論

曲線的凸性與拐點(diǎn)；曲線的漸近線；函數(shù)作圖。

（五）不定積分

1. 不定積分概念與基本積分公式

原函數(shù)與不定積分；基本積分表；不定積分的線性性質(zhì)。

2. 換元積分法

第一類換元積分法：第二類換元積分法。

3. 分部積分法

4. 特殊類型初等函數(shù)的不定積分

有理函數(shù)的不定積分；三角函數(shù)有理式的不定積分；簡單無理函數(shù)的不定積分。

（六）定積分

1. 定積分概念

定積分的定義；定積分的幾何意義。

2. 定積分的基本性質(zhì)

3. 牛頓－萊布尼茨公式

積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓－萊布尼茨公式。

4. 定積分的換元積分法與分部積分法

定積分的換元積分法；定積分的分部積分法。

5. 定積分的近似計(jì)算

矩形法；梯形法。

6. 定積分的應(yīng)用

平面圖形的面積；已知平行截面面積的立體和旋轉(zhuǎn)體的體積；平面曲線的弧長；旋轉(zhuǎn)曲面面積；定積分在物理學(xué)等方面的應(yīng)用。

7. 廣義積分

無限區(qū)間上的廣義積分；無界函數(shù)的廣義積分。

(七)無窮級(jí)數(shù)

1. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

無窮級(jí)數(shù)的概念；收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則；比較判別法；比式判別法與根式判別法。

3. 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)

交錯(cuò)級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂。

4. 冪級(jí)數(shù)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑；冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

5. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

泰勒級(jí)數(shù)；泰勒中值定理；初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式；近似計(jì)算

(八) 空間解析幾何

1. 空間直角坐標(biāo)系

空間直角坐標(biāo)系；空間兩點(diǎn)之間的距離。

2. 向量及其線性運(yùn)算

向量概念；向量的線性運(yùn)算；向量的坐標(biāo)與分解。

3. 向量的數(shù)量積與向量積

向量的數(shù)量積；向量的向量積。

4. 平面與空間直線

平面方程；空間直線方程。

5. 曲面與空間曲線

球面方程；柱面方程；錐面方程；旋轉(zhuǎn)面方程；橢球面；單葉雙曲面和雙葉雙曲面；橢圓拋物面和雙曲拋物面；空間曲線。

(九) 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1. 多元函數(shù)

多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何表示；多元函數(shù)的極限；多元函數(shù)的連續(xù)性。

2. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分

偏導(dǎo)數(shù)；高階偏導(dǎo)數(shù)；全微分；全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

3. 復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分法

復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的微分法。

4. 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線。

5. 多元函數(shù)的極值

多元函數(shù)的極值。

(十) 重積分及其應(yīng)用

1. 重積分的概念與性質(zhì)

二重積分的概念；可積性條件與二重積分的性質(zhì)；三重積分的概念和性質(zhì)。

2. 二重積分的計(jì)算

化二重積分為累次積分；在極坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分。

3. 三重積分的計(jì)算

化三重積分為累次積分。

4. 重積分的應(yīng)用

曲面的面積；物體的重心。

(十一) 常微分方程

1. 一階微分方程

微分方程的一般概念；可分離變量型微分方程；齊次型微分方程；一階線性微分方程；一階微分方程應(yīng)用舉例。

2. 二階微分方程

可降階的微分方程；二階線性微分方程解的性質(zhì)；二階常系數(shù)線性齊次方程的解；二階常系數(shù)線性非齊次方程的解。

四、主要參考書

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》、《高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）》，華東師范大學(xué)出版社1999年2月第一版（2002年6月第四次印刷）。

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