貴州師范大學2013年碩士研究生入學考試大綱 （復 試）

(科目：051實變函數(shù)、復變函數(shù))

第一部分 考試說明

本《實變函數(shù)、復變函數(shù)》考試大綱適用于貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院基礎數(shù)學專業(yè)碩士研究生復試考試。實變函數(shù)、復變函數(shù)是大學數(shù)學系數(shù)學專業(yè)本科學生的主要專業(yè)課程之一。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

1考試目的

《實變函數(shù)、復變函數(shù)》是我校數(shù)學與計算機科學學院招收全日制碩士研究生而設置的具有選拔性質(zhì)的復試考試科目，其目的是考察學生是否具備本學科碩士研究生學習所要求的水平，為我校數(shù)學與計算機科學學院擇優(yōu)選拔碩士研究生提供依據(jù)。

2考試的基本要求

1）要求考生比較系統(tǒng)地理解實變函數(shù)與復變函數(shù)的基本概念和基本理論；2）掌握實變函數(shù)與復變函數(shù)的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

3考試形式和試卷結構

1）答卷方式：閉卷，筆試。

2）答題時間：120分鐘。

3）試卷成績：100分。

4）各部分的考查比例：

實變函數(shù) 約50%

復變函數(shù) 約50%

5）題型：計算、證明

6）參考書目

[1] 周民強編《實變函數(shù)》，北京大學出版社，2008年第2版 .

[2]程其襄等編《實變函數(shù)與泛函分析基礎》，高等教育出版社，2003年第2版 .

[3] 鐘玉泉編《復變函數(shù)論》，高等教育出版社， 2004年第3版.

第二部分 考查內(nèi)容（或知識點）

1 實變函數(shù)

（1）集合

映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質(zhì)；對等及其性質(zhì)；基數(shù)與基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理；可數(shù)集的定義及等價條件，可列集及其性質(zhì)；上限集、下限集的定義及判斷證明。

（2）點集

鄰域、內(nèi)點、聚點、開集、閉集等基本概念；開集、閉集的性質(zhì)；Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理；直線上開集的構造；Cantor 集的構造及其性質(zhì)。

（3）測度論

勒貝格外測度的定義及主要性質(zhì)；勒貝格可測集的定義及其運算；勒貝格測度的可列可加性以及單調(diào)可測集列極限的測度；勒貝格可測集與開集、閉集、 型集與 型集之間的關系。

（4）可測函數(shù)

點集上的連續(xù)函數(shù)、函數(shù)列的上極限與下極限、“幾乎處處”等

概念；可測函數(shù)的定義及其在代數(shù)運算與極限運算下的封閉性；可測函數(shù)可表為簡單函數(shù)列的極限；可測函數(shù)列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互關系；葉果洛夫定理、黎斯定理、魯金定理。

（5）積分論

黎曼積分定義，達布定理；勒貝格積分的定義及其性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關系；勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項積分定理、列維定理、法都引理和富比尼定理。

2 復變函數(shù)

（1）復數(shù)與復變函數(shù)

復數(shù)的幾種表示法，復數(shù)的運算及其三角不等式的應用；復平面，復平面的點集，區(qū)域；復變函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

（2）解析函數(shù)

復變函數(shù)可導與解析的概念，解析函數(shù)的C-R 條件及C-R 條件的應用；指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的分支和導數(shù)，對數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，復指數(shù)，三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。

（3）復變函數(shù)的積分

復積分的概念及其基本性質(zhì)；柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數(shù)公式，及其他們的作用；劉維爾定理、莫勒拉定理和代數(shù)基本定理；函數(shù)積分的計算。

（4）復變函數(shù)的級數(shù)

復數(shù)序列的收斂，復級數(shù)的收斂，泰勒級數(shù)，羅朗級數(shù)，復冪級數(shù)的絕對一致收斂；復冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性，冪級數(shù)的積分和微分，唯一性定理，冪級數(shù)的乘法和除法運算；函數(shù)展成羅朗級數(shù)的方法。

（5）留數(shù)和奇點

留數(shù)的概念，柯西的留數(shù)基本定理，孤立奇點的三種類型；極點的留數(shù)，解析函數(shù)的零點，零點與極點，孤立點附近的函數(shù)的屬性；留數(shù)的應用，留數(shù)在計算某些實積分中的應用，輻角定理及儒歇定理。

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