課程編號：892 課程名稱：高等代數

一、考試的總體要求

主要考核考生對《高等代數》課程的基本理論體系和知識結構的掌握情況及熟練程度，掌握高等代數的基本理論和方法。要求考生具有一定的抽象思維和邏輯推理能力，以及綜合運用各種知識解決問題的能力，要求考生概念清楚，對定理理解準確，扎實掌握，還要求有較強的計算能力，對高等代數的方法能靈活應用。

二、考試的內容

第一部分 多項式

1. 掌握數域概念，一元多項式運算法則；

2. 掌握帶余除法定理，最大公因式概念及求法（輾轉相除法）；

3. 掌握不可約多項式概念和因式分解唯一性定理；

4. 掌握重因式、余數定理，零點（根）定理；

5. 掌握復/實系數多項式的因式分解定理；

6. 了解整系數多項式的艾森斯坦（Eisenstein）判別法。

第二部分 行列式

1. 掌握排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及判定；

2. 掌握行列式的定義，行列式的性質，行列式的各種計算方法；

3. 掌握范德蒙德（Vandermonde）行列式；

4. 掌握矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區(qū)別；

5. 掌握克拉默（Cramer）法則，齊次線性方程有非零解的條件。

第三部分 線性方程組

1. 掌握線性方程組的高斯（Gauss）消元法；

2. 掌握向量空間、線性相關、線性無關的概念；

3. 掌握矩陣秩的定義及求法，向量組的極大線性無關組的求法；

4. 掌握線性方程組有解的判定：線性方程組無解，有唯一解及有無窮多組解的判定；

5. 掌握線性方程組解的結構。

第四部分 矩陣

1. 掌握矩陣基本運算，掌握矩陣乘積的行列式；

2. 掌握矩陣的逆的定義及求法，分塊矩陣的概念；

3. 理解初等矩陣的意義及性質；

4. 掌握分塊矩陣的應用。

第五部分 二次型

1. 掌握二次型的矩陣表示，利用合同變換化二次型為標準形；

2. 掌握復二次型的規(guī)范形及實二次型的慣性定理；

3. 熟練掌握二次型的規(guī)范形/標準形及正/負定二次型的相關定理。

第六部分 線性空間

1. 了解線性（向量）空間的定義及簡單性質；

2. 掌握維數、基底、坐標的概念；

3. 掌握基變換與坐標變換公式，子空間的幾何意義，若干子空間的舉例；

4．掌握子空間的交與和，子空間的直和。

第七部分 線性變換

1. 掌握線性變換的概念、運算，了解一些線性變換的背景和具體例子；

2. 掌握線性變換與矩陣的關系，同一線性變換在兩組不同基下所對應的矩陣之間的關系；

3. 掌握特征值、特征向量以及特征空間的概念，會求特征值，特征向量， 掌握特征多項式的性質，特別是哈密頓-凱萊（Hamilton-Cayley）定理；

4．掌握對角矩陣的定義及求法，線性變換的值域與核的概念及性質；

5．掌握不變子空間的概念及性質；

6．了解任意矩陣在復數域上都可相似于若爾當（Jordan） 標準形。

第八部分 λ-矩陣

1. 了解λ-矩陣；

2. 了解λ-矩陣在初等變換下的標準型；

3. 了解不變因子的概念。

第九部分 歐幾里得空間

1. 掌握Euclid空間的概念與基本性質；

2. 掌握標準正交基與同構的概念，掌握施密特（Schimidt） 正交化過程；

3. 掌握若干正交變換的等價定義，知道子空間與正交補及其簡單的性質；

4．掌握如何用正交矩陣化實對稱矩陣為對角形；

5．了解最小二乘法。

第十部分 雙線性函數與辛空間

1. 掌握線性函數與對偶空間的定義及相關定理；

2. 掌握雙線性函數的性質及相關定理。

三、考試的題型

填空題，計算題，證明題。

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