中國(guó)地質(zhì)大學(xué)研究生院

碩士研究生入學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)》考試大綱 (包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)初步兩部分)

一、試卷結(jié)構(gòu)

（一）內(nèi)容比例

高等數(shù)學(xué) 約85%

線性代數(shù)初步 約15%

（二）題型比例

填空題與選擇題 約30%

解答題（包括證明題） 約70%

二、其他

考試時(shí)間為180分鐘，總分為150分。

高 等 數(shù) 學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 初等函數(shù) 簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義以及它們的性質(zhì) 函數(shù)的左、右極限 無(wú)窮小 無(wú)窮大 無(wú)窮小的比較 極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理和介值定理)。 考試要求 1. 理解函數(shù)的概念 會(huì)作函數(shù)符號(hào)運(yùn)算并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。 2. 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 3. 理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。

5. 理解極限的概念，理解函數(shù)的左、右極限概念及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7. 理解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 8. 理解無(wú)窮小、無(wú)窮大以及無(wú)窮小的階的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10. 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理和介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 平面曲線的切線和法線及其方程 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導(dǎo)數(shù)的概念 某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n介導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 羅爾（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理 洛必達(dá)（L′Hospital）法則 函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)增減性和函數(shù)圖形凹凸性的判定 函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及其求法 漸近線 描繪函數(shù)的圖形 函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 弧微分 曲率的概念及計(jì)算 曲率半徑 方程近似解的二分法和切線法

考試要求

1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，以及微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，并會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4. 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5. 理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，并會(huì)運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單問題。

6. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，會(huì)求函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

7. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)，會(huì)求水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

8. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

9. 了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

10. 了解求方程近似解的二分法和切線法。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和性質(zhì) 積分中值定理 變上限定積分及其導(dǎo)數(shù) 牛頓—萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 廣義積分的概念及計(jì)算 定積分的近似計(jì)算法 定積分的應(yīng)用

考試要求

1. 理解原函數(shù)概念，理解不定積分和定積分的概念。理解定積分中值定理。

2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及換元積分法與分部積分法。

3. 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。

4. 理解變上限定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓—萊布尼茲公式。

5. 了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。

6. 了解定積分的近似計(jì)算法。

7. 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力和函數(shù)平均值等）。

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念 向量的線性運(yùn)算 向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算 向量的混合積 兩向量垂直和平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算 單位向量 方向數(shù)與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程及其求法 平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角 占到平面和點(diǎn)到直線的距離

球面 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面 旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

考試要求

1. 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

3. 掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4. 掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。

5. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲線的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

6. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。

7. 了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。

五、多元函數(shù)微積分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值和最小值定理） 偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念與計(jì)算 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)求導(dǎo)法 高階偏導(dǎo)數(shù) 方向?qū)?shù)與梯度 空間曲線的切線與法平面 空間曲面的切平面與法線 多元函數(shù)的極值和條件極值、最大值和最小值 二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算 二重積分的應(yīng)用

考試要求

1. 了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的表示法與幾何意義。

2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的直觀意義。

3. 了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，掌握求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法，會(huì)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

4. 了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)求解一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

5. 了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法，會(huì)用二重積分計(jì)算一些幾何量與物理量（面積、體積、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力）。

六、無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念 收斂級(jí)數(shù)的和的概念 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂性 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 萊布尼茲定理 冪級(jí)數(shù)的概念 收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

考試要求

1. 了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和等概念。

2. 掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件及收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和達(dá)朗貝爾（比值）判別法。

3. 了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，掌握絕對(duì)收斂與條件收斂的判別方法。

4. 會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。

5. 了解冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

6. 掌握ex，sinx，cosx，ln（1+x）與（1+x）a等冪級(jí)數(shù)展開式，并會(huì)利用這些展開式將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展成冪級(jí)數(shù)。

七、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始條件和特解 變量可分離的方程 齊次方程 一階線性微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 微分方程的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用

考試要求

1. 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。

3. 會(huì)用降階法解下列方程：y (n) = f（x），y＂= f（x，y′），y＂= f（y，y′）。

4. 理解二階線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

5. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

6. 會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

7. 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。

線性代數(shù)初步

一、行列式

考試內(nèi)容 行列式的定義、性質(zhì)及計(jì)算 考試要求 1. 了解行列式的定義、性質(zhì)。 2. 掌握二階、三階行列式的計(jì)算法，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。

二、矩陣

考試內(nèi)容 矩陣的概念 單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣和對(duì)稱矩陣以及它們的性質(zhì) 矩陣的線性運(yùn)算 矩陣的乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 逆矩陣的概念 矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換 矩陣等價(jià) 矩陣的秩 初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法

考試要求

1. 了解矩陣的概念。

2. 了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣和三角矩陣以及它們的性質(zhì)。

3. 掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律。

4. 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可逆的充分必要條件，了解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。

5. 理解矩陣的秩的概念。

6. 掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

三、線性方程組

考試內(nèi)容

向量的概念 向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān) 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系 線性方程組的克萊姆（Cramer）法則 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解 非齊次線性方程組的通解 行初等變換求解線性方程組的方法

考試要求

1. 了解n維向量的概念。

2. 了解向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義。

3. 了解有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的基本性質(zhì)。

4. 了解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與向量的秩的概念。

5. 了解克萊姆法則。

6. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

7. 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解的概念。

8. 理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。

9. 會(huì)用行初等變換求線性方程組的通解。

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