考試科目：數(shù)學(xué)分析 代碼：601

考試基本要求

考察考生掌握《數(shù)學(xué)分析》的基本內(nèi)容和方法的熟練程度。

考試基本內(nèi)容

第一章實數(shù)集與函數(shù)

１實數(shù)：實數(shù)及性質(zhì)；絕對值與不等式．

２數(shù)集確界原理：區(qū)間與鄰域；有界集與無界集；上確界與下確界，確界原理．

３函數(shù)概念：函數(shù)定義；函數(shù)的幾種常用表示；函數(shù)四則運算；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)；初等函數(shù)．

４具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，無界函數(shù)；單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增（減）函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)與反函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)；周期函數(shù)，基本周期．

第二章數(shù)列極限

１極限概念：數(shù)列，通項；數(shù)列極限定義，數(shù)列的收斂與發(fā)散性；無窮小數(shù)列．

２收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號性；保不等式性；迫斂性；四則運算；歸結(jié)原則．

３數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界定理；柯西收斂準(zhǔn)則．

第三章函數(shù)極限

１函數(shù)極限的概念：函數(shù)極限的幾種形式；左、右極限．

２函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號性；保不等式性；迫斂性；四則運算．

３函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理）；柯西準(zhǔn)則．

４兩個重要極限：；．

５無窮小量與無窮大量：無窮小量與階的比較、高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮小量；無窮大量；曲線的漸近線（斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線）．

第四章函數(shù)連續(xù)

１函數(shù)連續(xù)性概念：函數(shù)的點連續(xù)性、左（右）連續(xù)性概念與極限之間的關(guān)系；間斷點及其分類[第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第二類間斷點]；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．

２連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的的局部性質(zhì)（局部有界性、局部保號性、四則運算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）；有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續(xù)性定理）；反函數(shù)的連續(xù)性．

３初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)的連續(xù)性；初等函數(shù)的連續(xù)性．

第五章導(dǎo)數(shù)與微分

１導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)函數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

２求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運算；反函數(shù)導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t、對數(shù)求導(dǎo)法）；基本導(dǎo)數(shù)法則與公式．

３參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

４高階導(dǎo)數(shù)：萊布尼茨公式．

５微分：微分的概念；微分運算法則；高階微分；微分在近似計算中的應(yīng)用．

第六章微分中值定理及其應(yīng)用

１拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性：羅爾定理與拉格朗日定理；單調(diào)函數(shù)．

２柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理；不定式的極限．

３泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式；帶有拉格朗日余項的泰勒公式；在近似計算上的應(yīng)用．

４函數(shù)的極值與最值：極值判別；最大值與最小值．

５函數(shù)的凸性與拐點：凸函數(shù)與凹函數(shù)；嚴(yán)格凸函數(shù)與嚴(yán)格凹函數(shù)；拐點．

６函數(shù)作圖：函數(shù)作圖的一般程序．

７方程的近似解：牛頓切線法．

第七章實數(shù)完備性

１實數(shù)完備性六個等價定理：閉區(qū)間套與閉區(qū)間套定理；聚點與聚點定理；有限覆蓋與有限覆蓋定理；確界定理；單調(diào)有界定理；柯西收斂準(zhǔn)則．

２閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理；最大、最小值定理；介值定理；一致連續(xù)性定理．

３上極限與下極限：最小聚點與下極限；最大聚點與上極限．

第八章不定積分

１不定積分概念與基本積分公式：原函數(shù)與不定積分；基本積分表；不定積分的線性運算法則．

２換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法；分部積分法．

３有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)的積分；部分分式；幾類可化為有理函數(shù)的積分．

第九章定積分

１定積分的概念：問題的提出；定積分的定義．

２牛頓—萊布尼茲公式．

３可積條件：可積的必要條件；達(dá)布上（下）和；上積分與下積分；可積的充要條件；可積函數(shù)類．

４定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì)；積分（第一）中值定理．

５微積分學(xué)基本定理定積分計算（續(xù)）：變限積分與原函數(shù)的存在性；積分（第二）中值定理；定積分的換元積分法和分部積分法．

第十章定積分的應(yīng)用：微元法；平面圖形面積計算；已知平行截面面積求體積；平面曲線弧長與曲率；旋轉(zhuǎn)曲面的面積；定積分在物理中的某些應(yīng)用（液體靜壓力、引力、功與平均功率等）．

第十一章反常積分

１反常積分概念：無窮限反常積分與收斂的定義；瑕點；無界函數(shù)反常積分（瑕積分）與收斂的定義．

２無窮限反常積分的性質(zhì)與收斂判別：無窮限反常積分的性質(zhì)；絕對收斂與條件收斂；比較法則；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法．

３瑕積分的性質(zhì)與收斂判別：瑕積分的性質(zhì)；絕對收斂與條件收斂；比較法則；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法．

第十二章數(shù)項級數(shù)

１級數(shù)的斂散性：數(shù)項級數(shù)斂散性概念；級數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則與收斂級數(shù)的若干性質(zhì)．

２正項級數(shù)：正項級數(shù)收斂性的一般判別原則；比式判別法與根式判別法；積分判別法與拉貝判別法．

３一般項級數(shù)：交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法；絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)及其性質(zhì)；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法．

第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

１一致收斂性：函數(shù)列及其一致收斂性概念與判別法；函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂概念與判別法．

２一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性；可微（導(dǎo)）性；可積性．

第十四章冪級數(shù)

１冪級數(shù)：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域；冪級數(shù)的性質(zhì)；冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項可導(dǎo)（微）、逐項可積問題．

２函數(shù)的冪級數(shù)展開：泰勒級數(shù)（麥克勞林級數(shù)）；幾種常見初等函數(shù)的冪級數(shù)展開．

３歐拉公式．

第十五章傅里葉級數(shù)

１傅里葉級數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系；傅里葉級數(shù)與傅里葉系數(shù)；以為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)；收斂定理；周期延拓；奇延拓與偶延拓；正弦級數(shù)與余弦級數(shù)．

２以為周期的函數(shù)的展開式：以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)．

３收斂定理的證明．

第十六章多元函數(shù)極限與連續(xù)

１平面點集與多元函數(shù)：平面點集與平面點集的完備性定理；二元函數(shù)的概念；多元函數(shù)的概念．

２二元函數(shù)的極限：二元函數(shù)極限概念；二元函數(shù)極限判別法與累次極限．

３二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)連續(xù)性概念及其性質(zhì)；全增量與偏增量；有界閉域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)．

第十七章多元函數(shù)的微分學(xué)

１可微性：可微性與全微分；偏導(dǎo)數(shù)；可微性條件；切平面的定義；可微性幾何意義及其應(yīng)用；近似計算．

２多元復(fù)合函數(shù)微分法：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；鏈?zhǔn)椒▌t；多元復(fù)合函數(shù)的全微分．

３方向?qū)?shù)與梯度．

４泰勒定理與極值問題：高階偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)的中值定理與泰勒公式；極值問題；黑賽（Hesse）矩陣．

第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

１隱函數(shù)：隱函數(shù)概念；隱函數(shù)存在性與可微性定理；反函數(shù)存在定理．

２隱函數(shù)組：隱函數(shù)組定理；反函數(shù)組與坐標(biāo)變換；雅可比（Jacobi）行列式．

３隱函數(shù)（組）定理的應(yīng)用：平面曲線的切線與法線；空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線．

４條件極值與拉格朗日乘數(shù)法．

第十九章含參量積分

１含參量正常積分：含參量正常積分的概念；連續(xù)性、可微性與可積性問題．

２含參量反常積分：一致收斂性及其判別法；含參量反常積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可微性與可積性）．

３歐拉積分：函數(shù)及其性質(zhì)；函數(shù)及其性質(zhì)．

第二十章曲線積分

１第一型曲線積分：第一型曲線積分的定義及其性質(zhì)、計算．

２第二型曲線積分：第二型曲線積分概念及性質(zhì)、計算．

３兩類曲線積分的聯(lián)系．

第二十一章重積分

１二重積分概念：平面圖形的面積；二重積分的定義及其存在性；二重積分的性質(zhì)．

２二重積分的計算：二重積分與累次積分；換元積分法（極坐標(biāo)變換與一般變換）．

３格林公式曲線積分與路徑無關(guān)性．

４三重積分：三重積分的概念；三重積分計算、三重積分與累次積分；三重積分換元積分法：柱坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換與一般坐標(biāo)變換．

５重積分應(yīng)用：曲面的面積；重心坐標(biāo)；轉(zhuǎn)動慣量．

第二十二章曲面積分

１第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念與計算．

２第二型曲面積分：曲面的側(cè)；第二型曲面積分的概念與計算．

３高斯公式與斯托克斯公式．

４場論初步：場的概念；梯度場；散度場；旋度場．

題型及分布

計算題約50%

證明題與概念題約50%

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