太陽(yáng)繞著地球運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做太陽(yáng)的“周年視運(yùn)動(dòng)”。晚上我們仰望天空，就會(huì)覺得整個(gè)天空是一個(gè)以地球?yàn)榍蛐牡那蝮w，日月星辰都鑲嵌在這個(gè)球體上。——這個(gè)球就叫做“天球”，日月星辰(嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是它們的投影)都在這個(gè)天球上運(yùn)動(dòng)。

太陽(yáng)周年視運(yùn)動(dòng)，就是地球公轉(zhuǎn)在天球上的投影。太陽(yáng)在天球上的運(yùn)動(dòng)軌跡就叫“黃道”，月球在天球上的運(yùn)行軌跡就叫“白道”，對(duì)了，天球還有赤道，那是地球赤道在天球上的投影。

包括日月星辰在內(nèi)的所有星體在天球上的運(yùn)動(dòng)都是可以觀察和測(cè)量的，現(xiàn)在你知道古人是怎么算出來(lái)一年的長(zhǎng)度了吧?——對(duì)的，就是測(cè)量太陽(yáng)在黃道上運(yùn)行的周期。

具體用什么方法測(cè)量呢?首先要明白，太陽(yáng)的周年視運(yùn)動(dòng)的直觀表現(xiàn)，就是它從南到北、又從北到南的回歸性。簡(jiǎn)單地講，就是夏至?xí)r太陽(yáng)最靠近北方，然后慢慢南移，到冬至?xí)r最靠近南方，然后又慢慢北移。直觀地來(lái)看，就是冬至?xí)r物體的影子最長(zhǎng)，夏至?xí)r影子最短。

那么現(xiàn)在就好辦了，要測(cè)量回歸年(也就是太陽(yáng)在黃道上運(yùn)行一周的時(shí)間)，我們只需要測(cè)出兩個(gè)冬至之間的時(shí)間就行了。——所以，要首先確定冬至是什么時(shí)候(也就是冬至點(diǎn))。

古人

怎么確定冬至呢?也很簡(jiǎn)單，在地上立根桿子，然后看一年中影子最長(zhǎng)的那個(gè)時(shí)間點(diǎn)，就是冬至了。這個(gè)東西，叫做圭表，也就是測(cè)量回歸年用的工具，立著的那個(gè)叫“表”，也就是我們前面說(shuō)的桿子，用來(lái)產(chǎn)生影的，水平的那個(gè)叫“圭”，也就是一個(gè)刻度尺，上面有刻度，用來(lái)測(cè)量影子長(zhǎng)度的。

原理說(shuō)起來(lái)很簡(jiǎn)單，但在實(shí)際操作中就很復(fù)雜了，因?yàn)檫@主要牽扯到一個(gè)測(cè)量精度問題。因?yàn)闂U的影子邊緣不可能是清晰的，總是模模糊糊的，這就使得測(cè)桿影總不能精確。最早，人們想的解決辦法是盡可能將刻度細(xì)化，從分到厘，到毫，到秒。但是，對(duì)提高測(cè)量精度幫助不大。

最后的完美方案是元朝郭守敬提出的。他在河南登封建造了一座觀象臺(tái)，就是上面這個(gè)東西：

這個(gè)觀象臺(tái)和普通的圭表相比，第一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是高大，其高度是普通圭表的5倍，這樣一來(lái)，影子也就相應(yīng)變長(zhǎng)，利于測(cè)量。此外，更加重要的是，郭守敬發(fā)明了一個(gè)輔助觀測(cè)儀器，叫“景符”。

景符其實(shí)就是一個(gè)有旋轉(zhuǎn)軸的銅片，可以在底座上上下旋轉(zhuǎn)，銅片的正中有一個(gè)小孔，測(cè)量是，將景符放在觀象臺(tái)的水平圭尺上，太陽(yáng)光通過(guò)觀象臺(tái)頂部的缺口照射下來(lái)，在頂部缺口處放置一橫梁，在地面上的水平圭尺上就會(huì)有一道橫梁的陰影，然后移動(dòng)景符，使陰影通過(guò)景符上的小孔，利用小孔成像的原理，在圭尺上就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)內(nèi)含橫梁的太陽(yáng)影像，調(diào)解景符，使得橫梁中分太陽(yáng)影像，這時(shí)小孔成像中橫梁所在的刻度，就是豎表的影長(zhǎng)。

堅(jiān)持測(cè)量，一年中影長(zhǎng)最長(zhǎng)的那一時(shí)刻，就是冬至點(diǎn)，兩個(gè)冬至點(diǎn)之間的時(shí)長(zhǎng)，就是一個(gè)回歸年長(zhǎng)度。郭守敬所測(cè)量的回歸年長(zhǎng)度為365.2425天，和現(xiàn)代測(cè)量值365.2422天高度一致。

但是，冬至點(diǎn)不可能總在正午，如果單純靠觀測(cè)，很難得到365.2425這么一個(gè)精確的數(shù)值。確實(shí)是的。一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后4位數(shù)的精確數(shù)值，是不可能靠觀測(cè)(尤其是古代的觀測(cè))得到的。這個(gè)數(shù)據(jù)其實(shí)是對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，才能得出的。而這個(gè)數(shù)據(jù)處理方法，則是祖沖之發(fā)明的。

祖沖之曾經(jīng)詳細(xì)論述過(guò)他是如何處理數(shù)據(jù)，從而得到精確冬至點(diǎn)的。他說(shuō)：“大明五年十月十日影一丈七寸七分半，十一月二十五日一丈八寸一分太，二十六日一丈七寸五分強(qiáng)，折取其中，則中天冬至應(yīng)在十一月三日。求其蚤(早)晚，令后二日影相減，則一日差率也，倍之為法;前二日減，以百刻乘之為實(shí)。以法除實(shí)，得冬至加時(shí)在夜半后三十一刻，在元嘉歷后一日，天數(shù)之正也。”

這段話翻譯成白話文，就是說(shuō)劉宋大明5年10月10日這天測(cè)量的影長(zhǎng)為10.775尺，11月25日影長(zhǎng)為10.8175尺(“太”是古代的一個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，是最小單位的3/4)，26日影長(zhǎng)為10.7508尺(“強(qiáng)”也是古代的一個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，是最小單位的1/12)。那么，現(xiàn)在求冬至點(diǎn)的準(zhǔn)確時(shí)刻。

我們不翻譯祖沖之的原文了，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行說(shuō)明。首先，我們知道冬至是在10月10日到11月25日之間的(你問怎么知道的，按照幾百上千你的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)知道的)，而且，我們可以做這樣的假設(shè)：冬至點(diǎn)前后的影長(zhǎng)變化是對(duì)稱的(也就是冬至點(diǎn)前一刻和后一刻影長(zhǎng)相等)。

那么，現(xiàn)在就可以進(jìn)行數(shù)據(jù)處理了。做這樣一個(gè)圖，橫軸是時(shí)間，縱軸是影長(zhǎng)。設(shè)A點(diǎn)為10月10日，其影長(zhǎng)為a(a=10.775)，B點(diǎn)是11月25日，影長(zhǎng)為b(b=10.8175)，C點(diǎn)是11月26日，影長(zhǎng)為c(c=10.7508)。

冬至點(diǎn)必然在AB之間，咱們假設(shè)是E點(diǎn)，在這一時(shí)刻，影長(zhǎng)最長(zhǎng)。D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)(因?yàn)锳是10月10日，B是11月25日，則D點(diǎn)可知，為11月3日0刻)現(xiàn)在要求E點(diǎn)，則我們只需要算出DE長(zhǎng)度就行了。

因?yàn)閎>c,所以在B、C之間，必然有一個(gè)A的對(duì)稱點(diǎn)A1，其影長(zhǎng)a1=a.

DE=AE-AD (1)

AE=(AB+BA1)/2 (2)

AD=AB/2 (3)

歷法知識(shí)：古人是怎么算出來(lái)一年有365天的?

將(2)、(3)式代入(1)式，得DE=BA1/2 (4)

根據(jù)三角形相似性原理，(b-a1)/(b-c)=BA1/BC

所以，BA1=(b-a1)·BC/(b-c)

因?yàn)锽C為25日至26日，即1晝夜時(shí)長(zhǎng)，而1晝夜即為100刻(古代百刻制計(jì)時(shí)，一晝夜為100刻)，

因此BA1=100(b-a)/(b-c)

將其代入(4)式，得

DE=50×(b-a)/(b-c)

所以，DE=50×(10.8175-10.775)/(10.8175-10.7508)=31(刻)

也就是說(shuō)，大明5年的冬至點(diǎn)是在11月3日子時(shí)31刻。

祖沖之發(fā)明的這個(gè)算法，成為了以后中國(guó)人求冬至點(diǎn)的經(jīng)典算法，郭守敬也是采用這個(gè)算法。郭守敬經(jīng)過(guò)自己的測(cè)量，同時(shí)采用了自祖沖之以來(lái)，他認(rèn)為最精確的6個(gè)冬至點(diǎn)的數(shù)據(jù)，最后得出了回歸年為365.2425天的結(jié)論。