學院：理學院

加試科目：近世代數(shù)

一、基本概念

1.理解集合的概念，了解元素與集合之間的關系，以及集合之間的運算。

2.理解映射的概念，能在集合之間建立映射關系，并能判斷兩個映射是否相同。

3.掌握一一映射的定義，并能建立兩個集合之間的滿射、單射、一一映射，能判定給定的映射是否是一一映射。

4.掌握同態(tài)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射。

5.掌握同構映射和自同構的概念，能區(qū)分同態(tài)與同構的差別，理解兩個具有同構關系的集合之間的關系，并能判定給定的映射和運算是否是同構關系，能建立兩個集合之間的同構映射。

6.理解關系和等價關系的概念，熟悉剩余類的基本特性。

二、群論

1.了解群的第一、第二定義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。

2.充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關系，會計算群元素的周期。

3.理解群同構、同態(tài)的定義，掌握和一個群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關性質。

4.掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質與特點。

5.理解置換與置換群的定義與性質，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的(不相連)的循環(huán)置換的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構關系。

6.了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，了解群與子群中的單位元與逆元的關系，以及子群與子群之間的關系。

7.掌握陪集的定義，以及與等價關系和分類之間的關系，了解子群與陪集之間的映射關系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

8.了解不變子群的定義，能掌握一個群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的定義。

9.了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關系的群之間子群或不變子群的象的性質。并能將子群或不變子群的性質運用到循環(huán)群、變換群等中。

三、環(huán)與域

1.熟悉環(huán)的定義，環(huán)中的計算規(guī)則。

2.理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質并能熟練運用。掌握消去律與零因子的關系。

3.了解除環(huán)的定義，理順環(huán)——交換環(huán)、有單位元環(huán)和無零因子環(huán)——整環(huán)、除環(huán)——域的關系。

4.理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，熟悉子除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構環(huán)之間的性質，并對環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。

5.了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關未定元的作用。

6.理解理想子環(huán)的構成，以及零理想、單位理想和主理想的構成，能判斷一個環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。

7.掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構成，并掌握同構的環(huán)的商域也同構的定理。

四、整環(huán)里的因子分解

1.了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。

2.知道唯一分解環(huán)的定義和性質，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。

3.理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。

4.了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個歐氏環(huán)。

參考書目：《近世代數(shù)基礎》，張禾瑞，人民教育出版社，1978年修訂本。