學院：理學院

加試科目：實變函數

一、集合

考查內容

1.集合及其運算。

2.集合的勢。

3.n維空間中的點集。

考查要求

1.熟練掌握集合的并、交、差(補)運算和對偶原理;掌握上極限、下極限的定義及其等價表述。

2.掌握映射、對等、集合勢等概念，會用Bernstein 定理討論集合的勢，會比較集合勢的大小。

3.掌握可數集概念與性質，會證[0,1]點集不可數，掌握具有連續(xù)勢的集，冪集及其勢。

4. 掌握聚點、內點、邊界點、導集、閉包、開集、閉集、完備集的概念與相關性質。

5. 了解直線上開、閉集及完備集的構造，了解Cantor集。

二、測度論

考查內容

1.外測度與可測集。

2.Lebesgue可測集的結構。

考查要求

1.理解掌握(L) 外測度概念與性質，知道可列集的測度為零，區(qū)間的測度等于其體積。

2.理解可測集的 Caratheodory 條件，可測集的概念與性質。

3.了解 型集、 型集以及波雷爾集的定義，掌握可測集類、可測集與開集、閉集的關系及可側集結構;了解當 時， 中必有不可測集存在。

三、可測函數

考查內容

1.可測函數的定義及其性質。

2.可測函數的逼近定理。

考查要求

1.掌握可測函數概念及等價表述，掌握可測函數對代數、極限運算封閉等重要性質;

掌握命題在點集幾乎處處成立概念;掌握簡單函數及函數在點集連續(xù)的概念。

2.掌握可測函數列幾乎處處收斂與一致收斂的關系;掌握Egoroff 定理。

3.掌握可測函數結構，Lusin 定理。

4.掌握依測度收斂、幾乎處處收斂及(基本)一致收斂三者的關系。

四、Lebesgue積分

考查內容

1.可測函數的積分。

2.Lebesgue積分的極限定理。

3.Fubini定理。

考查要求

1.理解簡單函數的Lebesgue積分、一般可測函數的Lebesgue積分及無界集上的Lebesgue積分的概念。

2.掌握Lebesgue積分的基本性質并會應用基本性質計算。

3.理解Lebesgue積分的三大定理(Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理)，會應用Lebesgue積分的三大定理證明和計算。

4.理解Lebesgue積分與黎曼積分的區(qū)別與聯系。

5.了解(L)積分的幾何意義，會陳述并應用重積分化累次積分的Fubini 定理。

6.掌握絕對連續(xù)函數概念;(L)不定積分與絕對連續(xù)函數的關系;Newton-Leibniz公式成立的充要條件。

參考書目：(選擇其一)

1.《實變函數論與泛函分析》，曹廣福編，第三版(上冊)，高等教育出版社，2011;

2.《實變函數論與泛函分析》，夏道行等編，第二版，高等教育出版社，2009;

3.《實變函數論》，江澤堅編，第二版，高等教育出版社，2001;