應(yīng)用數(shù)學(xué)——專業(yè)綜合

考試基本要求

第一部分 數(shù)學(xué)物理方程

一、一維波動方程

要求掌握： 一維波動方程的建立;定解問題的提出;齊次方程混合問題的Fourier解法(分離變量法);電報方程;強(qiáng)迫振動，非齊次方程的求解。

二、熱傳導(dǎo)方程

要求掌握：熱傳導(dǎo)方程的建立;熱傳導(dǎo)方程的Fourier級數(shù)解;初值問題的Fourier積分解;一端有界的熱傳導(dǎo)問題。

三、調(diào)和方程圓的邊值問題

要求掌握：圓的Dirichlet問題的提法; Fourier級數(shù)解; 函數(shù)的引入、性質(zhì)

四、波動方程

要求掌握：初值問題達(dá)D’Alembert解的提出;解的物理意義;依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域。高維波動方程的初值問題;降維法;解的物理意義;非齊次波動方程;推遲勢。

五、調(diào)和方程解的積分公式

要求掌握：Green公式;調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì);調(diào)和方程球的Dirichlet問題的積分公式;Green函數(shù);Laplace方程Dirichlet問題解的Green函數(shù)表示;Poisson方程的導(dǎo)出;Poisson方程Green問題的積分公式。

六、定解問題的適定性

要求掌握：適定性的定義和反向問題的不適定性。

第二部分 復(fù)變函數(shù)

一、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

理解復(fù)數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、多連通區(qū)域、約當(dāng)曲線、光滑(逐段光滑)曲線、無窮遠(yuǎn)點、擴(kuò)充復(fù)平面等概念;理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握復(fù)數(shù)的運算，理解復(fù)數(shù)的模和輻角的性質(zhì);理解并掌握復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的概念與性質(zhì)。

二、解析函數(shù)

理解解析函數(shù)的定義、性質(zhì)及其充分必要條件;了解函數(shù)在一點解析與函數(shù)在一點可微的區(qū)別，熟練掌握利用Cauchy-Riemann條件判別解析函數(shù)的方法;掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，注意與實指數(shù)函數(shù)、實三角函數(shù)的區(qū)別;了解初等多值函數(shù)單值化方法(限制輻角或割破平面);熟練掌握解析函數(shù)在單葉性區(qū)域內(nèi)由初值確定終值;理解反三角函數(shù)、一般冪函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)的定義與計算。

三、復(fù)變函數(shù)的積分

理解復(fù)積分的概念、性質(zhì)，掌握復(fù)積分的計算方法;理解Cauchy積分定理，熟練掌握利用Cauchy積分定理計算函數(shù)沿閉曲線的積分;理解Cauchy積分定理的推廣;理解Cauchy積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式，熟練掌握利用Cauchy積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式計算函數(shù)沿閉曲線的積分;了解解析函數(shù)的無窮可微性;了解Cauchy不等式與Liouville定理，掌握其證明方法;掌握利用Morera定理判斷解析函數(shù)的方法;熟練掌握已知解析函數(shù)的實部(或虛部)，求該解析函數(shù)的方法。

四、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法

了解復(fù)級數(shù)的基本概念;掌握復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂、內(nèi)閉一致收斂的定義及判別方法;理解解析函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì);理解冪級數(shù)的斂散性;理解收斂圓、收斂半徑的概念;了解冪級數(shù)和的解析性;理解解析函數(shù)的冪級數(shù)表示;熟練掌握一些初等函數(shù)的泰勒展式;了解冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的奇點的存在性;理解解析函數(shù)的零點孤立性、唯一性定理、最大模原理。

五、解析函數(shù)的Laurent展式與孤立奇點

了解雙邊冪級數(shù)的有關(guān)概念;了解Laurent定理，熟練掌握將解析函數(shù)分別在指定圓環(huán)和孤立奇點去心鄰域內(nèi)展成Laurent級數(shù)的方法;了解Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的關(guān)系;理解孤立奇點的概念，掌握判斷孤立奇點類型的方法;了解解析函數(shù)在孤立奇點去心鄰域內(nèi)的性質(zhì);掌握解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì);了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。

六、 留數(shù)理論及其應(yīng)用

理解留數(shù)的定義，熟練掌握留數(shù)的求法;理解留數(shù)定理，掌握利用Cauchy留數(shù)定理計算函數(shù)沿閉曲線的積分;熟練掌握用留數(shù)定理計算實積分;了解對數(shù)留數(shù)的概念;理解輻角原理、Rouche定理，熟練掌握求解析函數(shù)在指定區(qū)域內(nèi)的零點個數(shù)的方法。

七、共形映射

了解解析變換的特性(保域性、保角性、共形性);理解分式線性變換的映射性質(zhì)，掌握將區(qū)域D共形映射為區(qū)域G 的分式線形變換;了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)，掌握它們所構(gòu)成的共形映射。