數(shù)學(xué)填空題只要求寫出結(jié)果,不要求寫出計(jì)算和推理過程,其結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式(數(shù))最簡.填空題的類型一般可分為:完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題.解題時(shí),要有合理地分析和判斷,要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無誤,還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.
數(shù)學(xué)填空題,絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題,應(yīng)答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷.求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等.
方法一、直接法
直接法就是從題設(shè)條件出發(fā),運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)等,通過變形、推理、運(yùn)算等過程,直接得出正確結(jié)論,使用此法時(shí),要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì),自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法.
適用范圍:對于計(jì)算型的試題,多通過計(jì)算求結(jié)果.
方法點(diǎn)津:直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法,在計(jì)算過程中,我們要根據(jù)題目的要求靈活處理,多角度思考問題,注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用,將計(jì)算過程簡化從而得到結(jié)果,這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵.
方法二、特殊值法
當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等)進(jìn)行處理,從而得出探求的結(jié)論.為保證答案的正確性,在利用此方法時(shí),一般應(yīng)多取幾個(gè)特例.
適用范圍:求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題,對于開放性的問題或者有多種答案的填空題,則不能使用該種方法求解.
方法點(diǎn)津:
填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值是適用此法的前提條件.
方法三、數(shù)形結(jié)合法
對于一些含有幾何背景的填空題,若能以數(shù)輔形,以形助數(shù),則往往可以借助圖形的直觀性,迅速作出判斷,簡捷地解決問題,得出正確的結(jié)果,如Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線、函數(shù)的零點(diǎn)等.
適用范圍:圖解法是研究求解問題中含有幾何意義命題的主要方法,解題時(shí)既要考慮圖形的直觀,還要考慮數(shù)的運(yùn)算.
方法點(diǎn)津:
圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用,利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論,這也是高考命題的熱點(diǎn).準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應(yīng)關(guān)系,利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果.
方法四、構(gòu)造法
構(gòu)造型填空題的求解,需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型(如構(gòu)造函數(shù)、方程或圖形),從而簡化推理與計(jì)算過程,使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決,它來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累,需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括,積極聯(lián)想,橫向類比,從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感,構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型,使問題快速解決.
方法點(diǎn)津:構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用,需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向,通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型,從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題.本題巧妙地構(gòu)造出正方體,而球的直徑恰好為正方體的體對角線,問題很容易得到解決.