考試科目名稱：數(shù)學(xué)分析

科目代碼：601

一.極限與連續(xù)

考試內(nèi)容： 數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

考試要求：

(1) 掌握函數(shù)的特殊性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性等;

(2) 掌握各種極限的定義( 與 語(yǔ)言)以及如下性質(zhì)與重要定理： 唯一性、有界性、保號(hào)性以及四則運(yùn)算、單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則、迫斂性(兩邊夾法則、夾擠原則)原理、兩個(gè)重要極限;

(3) 掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的無(wú)窮大(小)量的基本概念與基本性質(zhì);

(4) 掌握連續(xù)性的概念及間斷點(diǎn)的分類，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性;

(5) 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的如下基本性質(zhì)：有界性、最值性、介值性(零點(diǎn)定理)、一致連續(xù)性。

二.一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分及其運(yùn)算法則、三個(gè)微分中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式、函數(shù)單調(diào)性、凸性與拐點(diǎn)、極值與最值。

考試要求：

(1) 理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微等概念及其相互關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)極值點(diǎn)與極值、凸性、拐點(diǎn)等概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值性，會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性與拐點(diǎn);

(2) 掌握(高階)導(dǎo)數(shù)微分的四則運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算法則以及高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式，掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，掌握導(dǎo)函數(shù)的介值定理(達(dá)布定理);

(3) 掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限(洛必達(dá)法則)等方面的應(yīng)用;

(4) 掌握泰勒公式及其在極限、極值點(diǎn)判定等方面的應(yīng)用;

(5) 掌握極值與最值的求法、凸性的等價(jià)定義以及凸性在不等式證明等方面的應(yīng)用。

三.實(shí)數(shù)的完備性

考試內(nèi)容：上(下)確界、區(qū)間套、聚點(diǎn)、開覆蓋。

考試要求：

(1)掌握確界、聚點(diǎn)、區(qū)間套、開覆蓋等概念;

(2)理解關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六大基本定理及其證明思想;

(3)會(huì)用實(shí)數(shù)完備性定理，特別是用確界定理與閉區(qū)間套定理證明簡(jiǎn)單的分析問題。

四.一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容：不定積分、定積分、換元法與分部積分法、牛頓萊布尼茲公式、變上限積分、積分中值定理、定積分在幾何中的應(yīng)用、無(wú)窮積分、瑕積分。

考試要求：

(1) 掌握原函數(shù)、不定積分的概念及其基本性質(zhì);

(2) 熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法及其常用積分計(jì)算技巧，會(huì)求初等函數(shù)、有理函數(shù)和三角有理函數(shù)的不定積分;

(3) 掌握定積分的概念、可積條件、可積函數(shù)類;

(4) 掌握定積分的性質(zhì)，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及常用積分計(jì)算技巧，掌握積分中值定理及其應(yīng)用;

(5) 掌握變限積分的性質(zhì)與求導(dǎo)方法;

(6) 能用定積分計(jì)算平面圖形的面積、弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積;

(7) 理解廣義積分收斂的概念、Cauchy收斂準(zhǔn)則，掌握廣義積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法、柯西判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

五.無(wú)窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂和條件收斂、判別法、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、一致收斂、冪級(jí)數(shù)、收斂半徑、收斂域、(冪級(jí)數(shù))泰勒級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)。

考試要求：

(1) 理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì);

(2) 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法、根式判別法和積分判別法;

(3) 掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法;

(4) 掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(函數(shù)列)一致收斂性的M-判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法, 掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(函數(shù)列)的分析性質(zhì)(連續(xù)性、可微性、可積性);

(5) 掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑與收斂域的概念與求法、掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，會(huì)求冪級(jí)數(shù)(級(jí)數(shù))的和函數(shù)(和)，能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級(jí)數(shù);

(6) 會(huì)將函數(shù)按要求展開成傅立葉級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù)、正弦級(jí)數(shù))。

六.多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：多元函數(shù)的極限與連續(xù)、全微分、(高階)偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)、泰勒公式、隱函數(shù)求導(dǎo)及幾何應(yīng)用。

考試要求：

(1) 掌握多元函數(shù)極限、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)的概念及其求法;

(2) 掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、簡(jiǎn)單多元函數(shù)泰勒公式的展開;

(3) 掌握多元函數(shù)的極值、條件極值的概念及其判別方法;

(4) 掌握隱函數(shù)與隱函數(shù)組求導(dǎo)與求偏導(dǎo)方法及其幾何應(yīng)用。

七.含參變量積分

考試內(nèi)容：含參變量正常積分，含參變量反常積分、伽馬函數(shù)、貝塔函數(shù)。

考試要求：

(1) 掌握含參變量正常積分的分析性質(zhì);

(2) 掌握含參變量反常積分的一致收斂性及判別法;

(3) 掌握含參變量反常積分的分析性質(zhì);

(4) 掌握伽馬函數(shù)與貝塔函數(shù)的性質(zhì)與相互關(guān)系;

八.重積分、曲線積分和曲面積分

考試內(nèi)容：重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。

考試要求：

(1)理解重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的概念、基本性質(zhì)與幾何意義;

(2)掌握二重積分與三重積分的常用計(jì)算方法、常用坐標(biāo)變換以及一般坐標(biāo)變換;

(3)掌握第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的計(jì)算;

(4)會(huì)用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式處各種積分計(jì)算問題。

(5)了解重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分之間的聯(lián)系。

參考書目：數(shù)學(xué)分析，《數(shù)學(xué)分析》(第三版)(上、下)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2001.6