考試科目：數(shù)學(xué)分析

代碼：601

考試基本要求

考察考生掌握《數(shù)學(xué)分析》的基本內(nèi)容和方法的熟練程度。

考試基本內(nèi)容

考查目標(biāo)

l 系統(tǒng)的理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握研究分析領(lǐng)域的基本方法，基本上掌握數(shù)學(xué)分析的思想和論證方法。

l 具有抽象思維能力、邏輯推理能力、具備較熟練的演算技能和初步的應(yīng)用能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

考試內(nèi)容

第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)及性質(zhì);絕對(duì)值與不等式.

2數(shù)集 確界原理：區(qū)間與鄰域;有界集與無(wú)界集;上確界與下確界，確界原理.

3函數(shù)概念：函數(shù)定義;函數(shù)的幾種常用表示;函數(shù)四則運(yùn)算;復(fù)合函數(shù);反函數(shù);初等函數(shù).

4具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，無(wú)界函數(shù);單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增(減)函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)與反函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù);周期函數(shù)，基本周期.

第二章　數(shù)列極限

1極限概念：數(shù)列，通項(xiàng);數(shù)列極限定義，數(shù)列的收斂與發(fā)散性;無(wú)窮小數(shù)列.

2收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性;有界性;保號(hào)性;保不等式性;迫斂性;四則運(yùn)算;歸結(jié)原則.

3數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界定理;柯西收斂準(zhǔn)則.

第三章　函數(shù)極限

1函數(shù)極限的概念：函數(shù)極限的幾種形式;左、右極限.

2函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性;局部有界性;局部保號(hào)性;保不等式性;迫斂性;四則運(yùn)算.

3函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則(Heine定理);柯西準(zhǔn)則.

4兩個(gè)重要極限： ; .

5無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與階的比較、高階無(wú)窮小量、同階無(wú)窮小量、等價(jià)無(wú)窮小量;無(wú)窮大量;曲線的漸近線(斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線).

第四章 函數(shù)連續(xù)

1 函數(shù)連續(xù)性概念：函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性、左(右)連續(xù)性概念與極限之間的關(guān)系;間斷點(diǎn)及其分類(lèi)[第一類(lèi)間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn))，第二類(lèi)間斷點(diǎn)];區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).

2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的的局部性質(zhì)(局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性);有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續(xù)性定理);反函數(shù)的連續(xù)性.

3 初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)的連續(xù)性;初等函數(shù)的連續(xù)性.

第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

1導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù);導(dǎo)函數(shù);導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算;反函數(shù)導(dǎo)數(shù);復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)椒▌t、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法);基本導(dǎo)數(shù)法則與公式.

3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4高階導(dǎo)數(shù)：萊布尼茨公式.

5微分：微分的概念;微分運(yùn)算法則;高階微分;微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.

第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

1拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調(diào)函數(shù).

2柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限.

3泰勒公式：帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式;帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式;在近似計(jì)算上的應(yīng)用.

4函數(shù)的極值與最值：極值判別;最大值與最小值.

5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)：凸函數(shù)與凹函數(shù);嚴(yán)格凸函數(shù)與嚴(yán)格凹函數(shù);拐點(diǎn).

6函數(shù)作圖：函數(shù)作圖的一般程序.

7方程的近似解：牛頓切線法.

第七章　實(shí)數(shù)完備性

1實(shí)數(shù)完備性六個(gè)等價(jià)定理：閉區(qū)間套與閉區(qū)間套定理;聚點(diǎn)與聚點(diǎn)定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調(diào)有界定理;柯西收斂準(zhǔn)則.

2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續(xù)性定理.

3上極限與下極限：最小聚點(diǎn)與下極限;最大聚點(diǎn)與上極限.

第八章 不定積分

1不定積分概念與基本積分公式：原函數(shù)與不定積分;基本積分表;不定積分的線性運(yùn)算法則.

2換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法.

3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)的積分;部分分式;幾類(lèi)可化為有理函數(shù)的積分.

第九章　定積分

1定積分的概念：?jiǎn)栴}的提出;定積分的定義.

2牛頓—萊布尼茲公式.

3可積條件：可積的必要條件;達(dá)布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數(shù)類(lèi).

4定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì);積分(第一)中值定理.

5微積分學(xué)基本定理 定積分計(jì)算(續(xù))：變限積分與原函數(shù)的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法.

第十章　定積分的應(yīng)用：微元法;平面圖形面積計(jì)算;已知平行截面面積求體積;平面曲線弧長(zhǎng)與曲率;旋轉(zhuǎn)曲面的面積;定積分在物理中的某些應(yīng)用(液體靜壓力、引力、功與平均功率等).

第十一章　反常積分

1反常積分概念：無(wú)窮限反常積分與收斂的定義;瑕點(diǎn);無(wú)界函數(shù)反常積分(瑕積分)與收斂的定義.

2無(wú)窮限反常積分的性質(zhì)與收斂判別：無(wú)窮限反常積分的性質(zhì);絕對(duì)收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別：瑕積分的性質(zhì);絕對(duì)收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

第十二章　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1級(jí)數(shù)的斂散性：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性概念;級(jí)數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則與收斂級(jí)數(shù)的若干性質(zhì).

2正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法.

3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法;絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì);阿貝爾判別法與狄利克雷判別法.

第十三章　函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1一致收斂性：函數(shù)列及其一致收斂性概念與判別法;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂概念與判別法.

2一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性;可微(導(dǎo))性;可積性.

第十四章　冪級(jí)數(shù)

1冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域;冪級(jí)數(shù)的性質(zhì);冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)可導(dǎo)(微)、逐項(xiàng)可積問(wèn)題.

2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：泰勒級(jí)數(shù)(麥克勞林級(jí)數(shù));幾種常見(jiàn)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi).

3歐拉公式.

第十五章　傅里葉級(jí)數(shù)

1傅里葉級(jí)數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系;傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉系數(shù);以 為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù);收斂定理;周期延拓;奇延拓與偶延拓;正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).

2以 為周期的函數(shù)的展開(kāi)式：以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).

3收斂定理的證明.

第十六章　多元函數(shù)極限與連續(xù)

1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)：平面點(diǎn)集與平面點(diǎn)集的完備性定理;二元函數(shù)的概念;多元函數(shù)的概念.

2二元函數(shù)的極限：二元函數(shù)極限概念;二元函數(shù)極限判別法與累次極限.

3二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)連續(xù)性概念及其性質(zhì);全增量與偏增量;有界閉域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì).

第十七章　多元函數(shù)的微分學(xué)

1可微性：可微性與全微分;偏導(dǎo)數(shù);可微性條件;切平面的定義;可微性幾何意義及其應(yīng)用;近似計(jì)算.

2多元復(fù)合函數(shù)微分法：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;鏈?zhǔn)椒▌t;多元復(fù)合函數(shù)的全微分.

3方向?qū)?shù)與梯度.

4泰勒定理與極值問(wèn)題：高階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)的中值定理與泰勒公式;極值問(wèn)題;黑賽(Hesse)矩陣.

第十八章　隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1隱函數(shù)：隱函數(shù)概念;隱函數(shù)存在性與可微性定理;反函數(shù)存在定理.

2隱函數(shù)組：隱函數(shù)組定理;反函數(shù)組與坐標(biāo)變換;雅可比(Jacobi)行列式.

3隱函數(shù)(組)定理的應(yīng)用：平面曲線的切線與法線;空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線.

4條件極值與拉格朗日乘數(shù)法.

第十九章　含參量積分

1含參量正常積分：含參量正常積分的概念;連續(xù)性、可微性與可積性問(wèn)題.

2含參量反常積分：一致收斂性及其判別法;含參量反常積分的性質(zhì)(連續(xù)性、可微性與可積性).

3歐拉積分： 函數(shù)及其性質(zhì); 函數(shù)及其性質(zhì).

第二十章　曲線積分

1第一型曲線積分：第一型曲線積分的定義及其性質(zhì)、計(jì)算.

2第二型曲線積分：第二型曲線積分概念及性質(zhì)、計(jì)算.

3兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系.

第二十一章　重積分

1二重積分概念：平面圖形的面積;二重積分的定義及其存在性;二重積分的性質(zhì).

2二重積分的計(jì)算：二重積分與累次積分;換元積分法(極坐標(biāo)變換與一般變換).

3格林公式 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性.

4三重積分：三重積分的概念;三重積分計(jì)算、三重積分與累次積分;三重積分換元積分法：柱坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換與一般坐標(biāo)變換.

5重積分應(yīng)用：曲面的面積;重心坐標(biāo);轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

第二十二章　曲面積分

1第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念與計(jì)算.

2第二型曲面積分：曲面的側(cè);第二型曲面積分的概念與計(jì)算.

3高斯公式與斯托克斯公式.

4場(chǎng)論初步：場(chǎng)的概念;梯度場(chǎng);散度場(chǎng);旋度場(chǎng).

參考書(shū)

《數(shù)學(xué)分析》(第四版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，出版時(shí)間：2010.

ISBN: 9787040295665

題型及分布

計(jì)算題 約50%

證明題與概念題 約50%