(科目：051實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù))

第一部分 考試說(shuō)明

本《實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)》考試大綱適用于貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士研究生復(fù)試考試。實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科學(xué)生的主要專(zhuān)業(yè)課程之一。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問(wèn)題能力。

1考試目的

《實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)》是我校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院招收全日制碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的復(fù)試考試科目，其目的是考察學(xué)生是否具備本學(xué)科碩士研究生學(xué)習(xí)所要求的水平，為我校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院擇優(yōu)選拔碩士研究生提供依據(jù)。

2考試的基本要求

1）要求考生比較系統(tǒng)地理解實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念和基本理論；2）掌握實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

1）答卷方式：閉卷，筆試。

2）答題時(shí)間：120分鐘。

3）試卷成績(jī)：100分。

4）各部分的考查比例：

實(shí)變函數(shù) 約50%

復(fù)變函數(shù) 約50%

5）題型：計(jì)算、證明

6）參考書(shū)目

[1] 周民強(qiáng)編《實(shí)變函數(shù)》，北京大學(xué)出版社，2008年第2版 .

[2]程其襄等編《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》，高等教育出版社，2003年第2版 .

[3] 鐘玉泉編《復(fù)變函數(shù)論》，高等教育出版社， 2004年第3版.

第二部分 考查內(nèi)容（或知識(shí)點(diǎn)）

1 實(shí)變函數(shù)

（1）集合

映射、單射、滿(mǎn)射、雙射，逆映射及其性質(zhì)；對(duì)等及其性質(zhì)；基數(shù)與基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理；可數(shù)集的定義及等價(jià)條件，可列集及其性質(zhì)；上限集、下限集的定義及判斷證明。

（2）點(diǎn)集

鄰域、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、開(kāi)集、閉集等基本概念；開(kāi)集、閉集的性質(zhì)；Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理；直線上開(kāi)集的構(gòu)造；Cantor 集的構(gòu)造及其性質(zhì)。

（3）測(cè)度論

勒貝格外測(cè)度的定義及主要性質(zhì)；勒貝格可測(cè)集的定義及其運(yùn)算；勒貝格測(cè)度的可列可加性以及單調(diào)可測(cè)集列極限的測(cè)度；勒貝格可測(cè)集與開(kāi)集、閉集、 型集與 型集之間的關(guān)系。

（4）可測(cè)函數(shù)

點(diǎn)集上的連續(xù)函數(shù)、函數(shù)列的上極限與下極限、“幾乎處處”等

概念；可測(cè)函數(shù)的定義及其在代數(shù)運(yùn)算與極限運(yùn)算下的封閉性；可測(cè)函數(shù)可表為簡(jiǎn)單函數(shù)列的極限；可測(cè)函數(shù)列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測(cè)度收斂的概念及它們之間的相互關(guān)系；葉果洛夫定理、黎斯定理、魯金定理。

（5）積分論

黎曼積分定義，達(dá)布定理；勒貝格積分的定義及其性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系；勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項(xiàng)積分定理、列維定理、法都引理和富比尼定理。

2 復(fù)變函數(shù)

（1）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)的幾種表示法，復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其三角不等式的應(yīng)用；復(fù)平面，復(fù)平面的點(diǎn)集，區(qū)域；復(fù)變函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

（2）解析函數(shù)

復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的概念，解析函數(shù)的C-R 條件及C-R 條件的應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的分支和導(dǎo)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，復(fù)指數(shù)，三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。

（3）復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)積分的概念及其基本性質(zhì)；柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導(dǎo)數(shù)公式，及其他們的作用；劉維爾定理、莫勒拉定理和代數(shù)基本定理；函數(shù)積分的計(jì)算。

（4）復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)

復(fù)數(shù)序列的收斂，復(fù)級(jí)數(shù)的收斂，泰勒級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)，復(fù)冪級(jí)數(shù)的絕對(duì)一致收斂；復(fù)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性，冪級(jí)數(shù)的積分和微分，唯一性定理，冪級(jí)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算；函數(shù)展成羅朗級(jí)數(shù)的方法。

（5）留數(shù)和奇點(diǎn)

留數(shù)的概念，柯西的留數(shù)基本定理，孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型；極點(diǎn)的留數(shù)，解析函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)與極點(diǎn)，孤立點(diǎn)附近的函數(shù)的屬性；留數(shù)的應(yīng)用，留數(shù)在計(jì)算某些實(shí)積分中的應(yīng)用，輻角定理及儒歇定理。

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