一、誤差與數(shù)值算法設(shè)計(jì)若干原則

誤差的基本概念：誤差來源與分類，截斷誤差，舍入誤差，絕對誤差、相對誤差和誤差限，有效數(shù)字。

函數(shù)計(jì)算誤差分析：一元函數(shù)誤差估計(jì)，四則運(yùn)算誤差估計(jì)。

數(shù)值算法設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的若干原則：簡化計(jì)算步驟以節(jié)省計(jì)算量（秦九韶算法），減少有效數(shù)字的損失（避免相近數(shù)相減），選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法。

二、插值方法

插值問題的基本概念：插值問題的提法，插值多項(xiàng)式的存在唯一性，

Lagrange插值：線性插值與拋物插值，n次Lagrange插值，插值余項(xiàng)公式。

Newton插值：均差的概念與性質(zhì)，Newton插值公式及其余項(xiàng)，差分的概念與性質(zhì)，等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式。

Hermite插值：兩點(diǎn)三次Hermite插值及其余項(xiàng)，n點(diǎn)Hermite插值，非標(biāo)準(zhǔn)Hermite插值及其余項(xiàng)。

分段低次插值：Runge現(xiàn)象，分段線性插值，分段三次Hermite插值。

三次樣條插值：三次樣條函數(shù)與三次樣條插值，構(gòu)造三次樣條插值的三彎矩方法。

三、曲線擬合與函數(shù)逼近

正交多項(xiàng)式：函數(shù)內(nèi)積、歐幾里德范數(shù)，正交函數(shù)序列，正交多項(xiàng)式，Legendre多項(xiàng)式。

曲線擬合的最小二乘法：最小二乘擬合問題的提法，最小二乘擬合問題的解法，非線性擬合問題（指數(shù)模型、雙曲線模型），最小二乘法的其他應(yīng)用（算術(shù)平均、超定方程組）。

連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近：最佳平方逼近問題的提法，最佳平方逼近的解法，基于正交函數(shù)的最佳平方逼近，利用Legendre多項(xiàng)式作最佳平方逼近。

四、數(shù)值積分與數(shù)值微分

數(shù)值求積基本概念：數(shù)值求積公式基本形式，插值型求積公式，代數(shù)精度。

Newton-Cotes求積公式：Newton-Cotes公式一般形式，梯形公式和Simpson公式及其余項(xiàng)，數(shù)值穩(wěn)定性。

復(fù)化求積公式：復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式，復(fù)化公式的余項(xiàng)，復(fù)化公式的收斂性。

Gauss型求積公式：Gauss型求積公式的概念（最高代數(shù)精度、插值型），Gauss點(diǎn)的特性，Gauss-Legendre求積公式，Gauss公式的余項(xiàng)、穩(wěn)定性。

Romberg算法：二等分過程梯形公式的遞推關(guān)系，Richardson外推加速法，Romberg算法。

數(shù)值微分公式：基于Taylor展開的數(shù)值微分公式，基于插值的數(shù)值微分公式。

五、線性代數(shù)方程組的直接解法

三角形方程組的解法：前推、回代過程。

Gauss消去法：順序Gauss消去法，列主元Gauss消去法。

直接三角分解法：矩陣三角分解，直接三角分解法。

追趕法與平方根法：解三對角方程組的追趕法，解對稱正定方程組的平方根法。

向量和矩陣的范數(shù)與譜半徑：向量范數(shù)，矩陣范數(shù)，矩陣譜半徑。

擾動誤差分析：條件數(shù)，病態(tài)方程組。

六、線性代數(shù)方程組的迭代解法

迭代法的基本思想：迭代法的基本概念，基本型迭代公式。

Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代：Jacobi迭代，G-S迭代。

迭代法收斂性分析：收斂性充要條件，收斂性充分條件，收斂速度。

SOR法：SOR法迭代公式，SOR法收斂性條件。

七、方程求根

基本概念與二分法：基本概念，求根的主要思想，二分法。

不動點(diǎn)迭代法: 不動點(diǎn)迭代法，不動點(diǎn)迭代法的收斂性定理，局部收斂性，收斂速度與收斂階。

Newton迭代法：Newton迭代法，Newton迭代法的收斂性，重根的處理，應(yīng)用舉例（如求方根、應(yīng)用于代數(shù)方程等特殊方程）。

迭代過程的加速方法：Aitken加速方案，Steffensen迭代法。

八、常微分方程初值問題數(shù)值解法

數(shù)值解的概念：數(shù)值解的概念，數(shù)值解法的特點(diǎn)（步進(jìn)式）。

Euler方法與局部截斷誤差：Euler公式，隱式Euler公式，梯形公式，改進(jìn)的Euler公式，局部截斷誤差與方法的階。

Runge-Kutta方法：2階Runge-Kutta公式，3階、4階Runge-Kutta公式（經(jīng)典4階Runge-Kutta公式）。

單步法的收斂性與穩(wěn)定性：單步法的收斂性，單步法的絕對穩(wěn)定性。

線性多步法：線性多步法一般形式，線性多步法的構(gòu)造，幾個重要的線性多步法。

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