曲線本身的對稱問題

曲線F(x,y)=0為(中心或軸)對稱曲線的充要條件是曲線F(x,y)=0上任意一點P(x,y)(關于對稱中心或對稱軸)的對稱點的坐標替換曲線方程中相應的坐標后方程不變。

例如拋物線y2=-8x上任一點p(x,y)與x軸即y=0的對稱點p′(x,-y)，其坐標也滿足方程y2=-8x，`y2=-8x關于x軸對稱。

例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：

A、關于y軸對稱 B、關于直線x+y=0對稱

C、關于原點對稱 D、關于直線x-y=0對稱

解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得

(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變

`曲線關于原點對稱。

函數(shù)圖象本身關于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：

1、函數(shù)f(x)定義線為R，a為常數(shù)，若對任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于x=a對稱。

這是因為a+x和a-x這兩點分別列于a的左右兩邊并關于a對稱，且其函數(shù)值相等，說明這兩點關于直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。

例如對于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關于x=2對稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或 f(t)=f(4-t)結論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結論即關于x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：

2、函數(shù)f(x)定義域為R，a、b為常數(shù)，若對任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關于直線x= 對稱。

我們再來探討以下問題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結論又如何呢?試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數(shù)，圖象關于(0,0)成中心對稱，現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關于M(2，0)成中心對稱。如圖，取點 A(2+t，f(2+t))其關于M(2，0)的對稱點為A′(2-x，-f(2+x))

∵-f(2+X)=f(2-x)`A′的坐標為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上

`圖象關于M(2，0)成中心對稱。

若將條件改為f(x)=-f(4-x)結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：

3、f(X)定義域為R，a、b為常數(shù)，若對任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關于點M(，0)成中心對稱。