曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱曲線問題

求已知曲線F(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(diǎn)(x，y)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F(x，y)=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。

1、曲線F(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0

2、曲線F(x，y)=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0

特別地，曲線F(x，y)=0關(guān)于

(1)x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0

(2)關(guān)于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0

(3)關(guān)于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0

除此以外還有以下兩個結(jié)論：對函數(shù)y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。

例2(全國高考試題)設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線C1：

1)寫出曲線C1的方程

2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A( , )對稱。

(1)解 知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s

(2)證明 在曲線C上任取一點(diǎn)B(a,b)，設(shè)B1(a1,b1)是B關(guān)于A的對稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：

s-b1=(t-a1)3-(t-a1)

`b1=(a1-t)3-(a1-t)+s

`B1(a1,b1)滿足C1的方程

`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)在曲線C上

`曲線C和C1關(guān)于a對稱

我們用前面的結(jié)論來證：點(diǎn)P(x,y)關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P1(t-x,s-y)，為了求得C關(guān)于A的對稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)

`y=(x-t)3-(x-t)+s

此即為C1的方程，`C關(guān)于A的對稱曲線即為C1。