《高等代數(shù)》考試大綱

一、考試內(nèi)容概述

《高等代數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，其主要內(nèi)容是一元多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣、向量空間 (亦稱線性空間)、線性變換、歐氏空間、二次型等方面的基本概念、基本知識(shí)和一些數(shù)學(xué)的基本思想方法。要求考生理解和掌握映射、數(shù)域、帶余除法、最大公因式的性質(zhì)、不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)、重因式、多項(xiàng)式的有理根等相關(guān)知識(shí)；會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式，掌握行列式的一些基本計(jì)算方法；理解線性方程組解的相關(guān)理論并掌握求解方法及解的表示；掌握矩陣?yán)碚摬⒛莒`活應(yīng)用；理解向量空間和歐氏空間的一些基本概念并掌握相關(guān)知識(shí)的計(jì)算方法且能靈活應(yīng)用；理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量及子空間、正交矩陣等相關(guān)知識(shí)；掌握正定二次型的等價(jià)條件及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形并會(huì)判定。要求考生具備邏輯推理、抽象思維與綜合分析問題的能力。能運(yùn)用高等代數(shù)中的基本知識(shí)、基本理論進(jìn)行推理和論證?？忌€應(yīng)熟練掌握高等代數(shù)中常用的計(jì)算方法，掌握基本運(yùn)算中的技能、技巧，提高綜合計(jì)算和解決問題的能力。

二、考試形式

考試采用閉卷、筆答的考試方式。滿分：150分(單科成績(jī))?？荚嚂r(shí)間：120分鐘。

三、試題難易程度分布

較易試題約占50％

中等試題約占30％

較難試題約占20％

四、題型及題型分值分布

單選題10小題，每小題4分，共40分約占27％

填空題10小題，每小題5分，共50分約占33％

計(jì)算題4小題，每小題10分，共40分約占27％

證明題2小題，每小題10分，共20分約占13％

五、內(nèi)容比例

基本概念約占3％

一元多項(xiàng)式約占12％

行列式約占16％

線性方程組約占10％

矩陣約占16％

向量空間與歐式空間約占23％

線性變換約占13％

二次型約占7％

六、參考教材

1．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，王萼芳、石生明修訂：《高等代數(shù)》，高等教育出版社2003年7月第三版。

2．張和瑞、郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社2007年6月第五版。

七、考試內(nèi)容及要求

(一)基本概念

考試內(nèi)容：

1．映射。

映射的定義，滿射、單射與雙射，映射的相等，映射的合成，逆映射。

2．?dāng)?shù)域。

數(shù)域的定義，最小的數(shù)域。

考試要求：

1．熟記映射、滿射、單射、雙射的定義，理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。能根據(jù)定義判定所給的法則是否為映射，為何種映射。理解映射的相等與映射的合成概念。

2．會(huì)正確判定所給的數(shù)集是否為數(shù)域。

(二)一元多項(xiàng)式

考試內(nèi)容：

1．一元多項(xiàng)式的概念、運(yùn)算及整除性。

一元多項(xiàng)式的定義，一元多項(xiàng)式的項(xiàng)、首項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)、次數(shù)，零多項(xiàng)式，零次多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的相等，多項(xiàng)式的加、減、乘的運(yùn)算法則，多項(xiàng)式整除的定義，整除的基本性質(zhì)，帶余除法定理。

2．多項(xiàng)式的最大公因式。

因式、公因式、最大公因式的定義，輾轉(zhuǎn)相除法，多項(xiàng)式互素的判別方法，多項(xiàng)式互素的性質(zhì)。

3．多項(xiàng)式的因式分解。

不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)，因式分解存在唯一性定理，多項(xiàng)式的典型分解式。

4．多項(xiàng)式的重因式與根。

多項(xiàng)式有無(wú)重因式的判定，多項(xiàng)式的值與根(丘重根、單根、重根)，余式定理，綜合除法。

5．復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。

代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的典型分解式，實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的典型分解式，有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性，艾森斯坦因判別法，有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根。

考試要求：

1．理解一元多項(xiàng)式的基本概念，注意零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式的區(qū)別。

熟記整除的定義，掌握整除的基本性質(zhì)并會(huì)運(yùn)用這些性質(zhì)證明有關(guān)的基本問題。熟練掌握帶余除法的方法，會(huì)用帶余除法解決有關(guān)的基本問題。

2．掌握多項(xiàng)式的最大公因式的定義，熟練應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式。

理解多項(xiàng)式互素的概念及性質(zhì)，初步掌握運(yùn)用互素的定義及性質(zhì)證明有關(guān)問題的基本方法。

3．掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。

正確理解多項(xiàng)式因式分解存在唯一性定理，了解典型分解式的形式及其意義。

4．正確理解重因式的概念，熟練掌握有無(wú)重因式的判定方法。

記住多項(xiàng)式值與根的定義及余式定理。

5．理解代數(shù)基本定理。

掌握復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的典型分解式的特征。

熟練掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法。

(三)行列式

考試內(nèi)容：

1．排列。

排列的定義，排列的反序數(shù)，排列的奇偶性。

2．n階行列式。

n階行列式的定義，行列式的項(xiàng)及項(xiàng)的符號(hào)，子式與代數(shù)余子式的概念，行列式的性質(zhì)，行列式的依行依列展開，范德蒙行列式。

3．克萊姆法則。

考試要求：

1．理解排列的有關(guān)概念，會(huì)計(jì)算排列的反序數(shù)，確定排列的奇偶性。

2．深刻理解n階行列式的定義并能利用定義計(jì)算行列式。

熟練掌握行列式的性質(zhì)，能正確地依行依列展開行列式，并能靈活運(yùn)用行列式的性質(zhì)和展開定理計(jì)算行列式。

(四)線性方程組

考試內(nèi)容：

1．矩陣的初等變換與矩陣的秩。

行(列)階梯形矩陣，矩陣的k階子式矩陣的秩，矩陣的初等變換，矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，用初等變換求矩陣的秩，用初等變換化矩陣為階梯形，線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣，用初等變換解線性方程組。

2．齊次線性方程組。

齊次線性方程組的定義，齊次線性方程組的零解與非零解，齊次線性方程組有非零解的條件，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的定義、存在條件及求法。

3．一般線性方程組有解的判別方法及解的求法。

一般線性方程組可解的判別定理，唯一解的條件，無(wú)窮多解的條件，一般線性方程組求解的方法及解的結(jié)構(gòu)。

八、考核目標(biāo)

1．理解矩陣的尼階子式、矩陣的秩與矩陣初等變換的定義。熟練運(yùn)用矩陣的初等變換求矩陣的秩和解線性方程組。

2．準(zhǔn)確判定所給的齊次線性方程組有無(wú)非零解。在有非零解時(shí)，能熟練地求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。

3．牢固掌握一般線性方程組可解的判別定理和線性方程組有唯一解及無(wú)窮多解的條件，會(huì)用導(dǎo)出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示一般線性方程組的全部解。

(五)矩陣

考試內(nèi)容：

1．矩陣的運(yùn)算及運(yùn)算律。

矩陣可加的條件與加法法則，矩陣可乘的條件與乘法法則，數(shù)與矩陣的乘法法則，方陣的冪，矩陣運(yùn)算的運(yùn)算律。

2．初等矩陣。

初等矩陣的性質(zhì)，初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。

3．矩陣的逆。

可逆矩陣與逆矩陣的定義，可逆矩陣的性質(zhì)，可逆矩陣的判定，逆矩陣的求法。

4．矩陣乘積的行列式與矩陣乘積的秩。

考試要求：

1．熟練掌握矩陣各種運(yùn)算的法則及運(yùn)算規(guī)律

2．記住初等矩陣的定義、性質(zhì)及其與初等變換的關(guān)系。

3．理解可逆矩陣的定義、性質(zhì)，掌握矩陣可逆的判定法則，能熟練運(yùn)用公式法：，及初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣。

(六)向量空間與歐式空間

考試內(nèi)容：

1．向量空間及向量的線性相關(guān)性。

向量空間的定義，向量空間的性質(zhì)，向量的線性組合，向量的線性表示，向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量組的等價(jià)，極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩。

2．基、維數(shù)與坐標(biāo)。

向量空間的基的定義，基的性質(zhì)，基的求法，向量空間的維數(shù)，維數(shù)的求法，向量的坐標(biāo)，坐標(biāo)的求法，基的過渡矩陣，過渡矩陣的性質(zhì)，過渡矩陣的求法，基變換公式，坐標(biāo)變換公式。

3．子空間。

子空間的定義，子空間的判別定理，子空間的交與和，生成子空間，子空間的基與維數(shù)，維數(shù)公式。

4．歐氏空間。

內(nèi)積與歐氏空間的定義內(nèi)積的性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度，向量的夾角，柯西不等式，向量的正交，正交向量組，標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交化方法

考試要求：

1．熟記向量空間的定義、性質(zhì)，深刻理解向量線性相關(guān)性的一系列概念，靈活運(yùn)用上述概念、性質(zhì)判斷或證明有關(guān)的問題。

2．掌握常見的向量空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)及過渡矩陣的求法。

3．理解子空間、交子空間和子空間、生成子空間的概念，掌握子空間的判別方法及維數(shù)公式的應(yīng)用。

4．熟記內(nèi)積與歐氏空間的有關(guān)概念，會(huì)計(jì)算內(nèi)積、向量的長(zhǎng)度、夾角和標(biāo)準(zhǔn)正交基。

(七)線性變換

考試內(nèi)容：

1．線性變換及其運(yùn)算。

線性變換的定義，線性變換的性質(zhì)，線性變換的和，數(shù)與線性變換的乘積，線性變換的合成(線性變換的乘積)，線性變換的方冪，線性變換運(yùn)算的運(yùn)算律。

2．線性變換的矩陣。

線性變換的矩陣的定義，線性變換下像向量的坐標(biāo)，矩陣相似的定義，相似矩陣的性質(zhì)，線性變換關(guān)于不同基的矩陣的相似關(guān)系，在一個(gè)確定基下線性變換與矩陣間的1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系，線性變換可逆的條件。

3．線性變換和矩陣的特征值、特征向量。

特征值，特征向量，特征多項(xiàng)式的定義及系數(shù)的特征，特征多項(xiàng)式的求法，特征值的求法，特征向量的求法。

4．矩陣的對(duì)角化。

矩陣對(duì)角化的定義，矩陣可對(duì)角化的條件，矩陣對(duì)角化的方法。

考試要求：

1．掌握線性變換的定義、性質(zhì)和基本運(yùn)算，熟練判斷所給

的變換是否為線性變換。

2．掌握線性變換矩陣的定義、矩陣相似的定義，會(huì)運(yùn)用線

性變換的矩陣計(jì)算像的坐標(biāo)。深刻理解線性變換關(guān)于不同基的矩

陣彼此相似。

3．掌握線性變換和矩陣的特征值、特征向量的概念，注意

線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量的聯(lián)系和區(qū)別。熟練掌握特征值、特征向量的求法。

4．理解線性變換與矩陣可對(duì)角化的含義，熟練掌握可對(duì)角化的條件和對(duì)角化的方法。對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A會(huì)求正交矩陣U，使得為對(duì)角形。

(八)二次型

考試內(nèi)容：

1．二次型及其矩陣表示。

二次型的矩陣，二次型的秩，變量的線性變換，變量的非退化線性變換，二次型的等價(jià)，矩陣合同的定義及性質(zhì)，等價(jià)二次型的矩陣合同，任一對(duì)稱矩陣必與對(duì)角矩陣合同。

2．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。

化二次型為平方和的方法，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型(系數(shù)為±1的平方和形式)，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，實(shí)二次型的正慣性指標(biāo)、負(fù)慣性指標(biāo)、符號(hào)差，復(fù)二次型、實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性。

3．正定二次型。

正定二次型的定義，正定矩陣的定義，正定二次型的判定，正定矩陣的判定。

考試要求：

1．理解二次型及矩陣合同的有關(guān)概念，明確施行非退化線性變換前后的兩個(gè)二次型是等價(jià)的，它們的矩陣是合同的。會(huì)利用矩陣的初等變換把對(duì)稱矩陣化為與之合同的對(duì)角矩陣。

2．理解二次型的平方和、標(biāo)準(zhǔn)形及實(shí)二次型的慣性指標(biāo)、符號(hào)差的概念，掌握化二次型為平方和及標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

3．熟記正定二次型、正定矩陣的定義及性質(zhì)，掌握正定二次型與正定矩陣的判別方法。