《數(shù)學分析》考試大綱

一、考試形式考試采用閉卷、筆答的考試方式。滿分：150分(單科成績)?？荚嚂r間：120分鐘。

二、試題難易程度分布較易試題約占50％中等試題約占30％較難試題約占20％

三、題型及題型分值分布單選題約占15％填空題約占25％計算題約占30％證明題約占15％綜合題約占15％

四、內(nèi)容比例第一章  函數(shù)與極限約占15％第二章  函數(shù)的連續(xù)性約占5％

第三章  導數(shù)和微分約占15％

第四章  不定積分約占10％

第五章  定積分及其應(yīng)用約占10％

第六章  無窮級數(shù)約占20％

第七章  多元函數(shù)的極限與連續(xù)約占5％

第八章  多元函數(shù)微分學約占5％

第九章  重積分及其應(yīng)用約占5％

第十章  曲線積分約占10％

五、參考教材

1．華東師大數(shù)學系編：《數(shù)學分析》，高等教育出版社2001年6月第3版。

2．劉玉璉、傅沛仁編：《數(shù)學分析講義》，高等教育出版社 1992年6月第3版。

3．張筑生編：《數(shù)學分析新講》，北京大學出版社1990年1月第1版。

4．華東師大數(shù)學系編：《高等數(shù)學》，華東師大出版社2008年3月第2版。

六、考試內(nèi)容

第一章  函數(shù)與極限

一、考核的知識點

1．函數(shù)概念。

2．具有某些特性的函數(shù)。

3．數(shù)列極限。

4．函數(shù)極限。

二、考核要求

(一)函數(shù)的概念

1．掌握函數(shù)的定義、表示法及函數(shù)的二要素，掌握定義域和一些函數(shù)的值域的求法，掌握函數(shù)的復合運算。

2．理解函數(shù)的四則運算與反函數(shù)的概念，掌握反函數(shù)的求法。

3．掌握基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及圖像。

(二)具有某些特性的函數(shù)

1．掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)與周期函數(shù)定義，并會用定義判斷函數(shù)的類別。

(三)數(shù)列極限

1．理解數(shù)列極限的定義，會運用定義證明較簡單的問題。

2．理解數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號性、保序性、迫斂性、四則運算定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則。會運用這些定理證明較簡單的問題。

3．掌握數(shù)列極限的計算。 

(四)函數(shù)極限

1．理解函數(shù)極限的定義，理解函數(shù)左、右極限的定義，掌握函數(shù)極限limf(x)與相應(yīng)的左、右極限之間的關(guān)系，會運用函數(shù)極限的定義證明較簡單的問題。

2．理解函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、局部保不等式性。

3．掌握函數(shù)極限的四則運算定理、兩邊夾定理、海涅定理、

柯西準則、兩個重要極限：。并

能運用它們求極限。

4．理解無窮小量與無窮大量的定義、性質(zhì)，掌握無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系、無窮小量階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。

第二章  函數(shù)的連續(xù)性

一、考核的知識點

1．連續(xù)性的概念。

2．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．初等函數(shù)的連續(xù)性。

二、考核要求’

(一)連續(xù)性的概念

1．理解函數(shù)連續(xù)的定義。理解函數(shù)在點x0。處左、右連續(xù)的定義，掌握函數(shù)在點x0。處左、右連續(xù)與函數(shù)在點處連續(xù)的關(guān)系。理解函數(shù)在點x0。處有定義、有極限、連續(xù)之間的關(guān)系。能正確判斷函數(shù)的連續(xù)區(qū)間或間斷點，尤其是分段函數(shù)在分段點上的連續(xù)性。

2．掌握函數(shù)間斷點的分類。

(二)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1．理解連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數(shù)的連續(xù)性，并能運用它們解決有關(guān)問題。

2．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理，根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性)及其簡單運用。

3．理解一致連續(xù)的定義，掌握一致連續(xù)性定理。

(三)初等函數(shù)的連續(xù)性

1．理解基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù)。

2．理解任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

第三章  導數(shù)和微分

一、考核的知識點

1．導數(shù)的概念。

2．求導法則。

3．高階導數(shù)。

4．微分。

5．微分中值定理。

6．導數(shù)的應(yīng)用。

二、考核要求

(一)導數(shù)的概念

1．掌握導數(shù)的定義、幾何意義。掌握左導數(shù)、右導數(shù)的定義，掌握函數(shù)在點x。的左導數(shù)、右導數(shù)與在點x。導數(shù)的存在性之間的關(guān)系。

2．理解可導與連續(xù)的關(guān)系。

(二)求導法則

掌握基本求導公式，并能熟練運用導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則、反函數(shù)求導法則、隱函數(shù)求導法則及對數(shù)求導法求導數(shù)。掌握由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導數(shù)的方法。掌握分段函數(shù)求導數(shù)的方法。

(三)高階導數(shù)

掌握函數(shù)二階導數(shù)及簡單函數(shù)的三階以上導數(shù)的求法。

(四)微分

1．掌握微分的定義、基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則。掌握簡單函數(shù)高階微分的求法。

2．理解一元函數(shù)可導、可微與連續(xù)之間的關(guān)系。

(五)微分中值定理

理解費馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件和結(jié)論，能運用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。

(六)導數(shù)的應(yīng)用

1．掌握洛必達法則，運用洛必達法則求不定式的極限。

2．了解泰勒公式和麥克勞林公式。

3．掌握函數(shù)e“，sinx，COSX，ln(1+x)”的麥克勞林公式，能運用它們求一些簡單函數(shù)的展開式。

4．掌握運用導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的方法。

5．掌握運用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法。

第四章  不定積分

一、考核的知識點

1．不定積分概念與基本積分公式。

2．換元積分法與分部積分法。

3．有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分。

二、考核要求

(一)不定積分概念與基本積分公式

理解原函數(shù)、不定積分的定義與性質(zhì)。掌握基本積分表。

(二)換元積分法與分部積分法

掌握第一、第二換元積分法、分部積分法，并能運用它們熟練計算不定積分。

(三)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

掌握簡單有理函數(shù)的積分和部分可化為有理函數(shù)的積分的求法。

第五章  定積分及其應(yīng)用

一、考核的知識點

1．定積分概念。

2．可積的條件，可積函數(shù)類。

3．定積分的性質(zhì)。

4．微積分學基本定理，定積分計算。

5．定積分在幾何上的應(yīng)用。

6．反常積分。

二、考核要求

(一)定積分概念

理解定積分的定義，掌握定積分的幾何意義。

(二)可積的條件、可積函數(shù)類

理解可積的條件，掌握三類可積函數(shù)。

(三)定積分的性質(zhì)

理解定積分的性質(zhì)：包括線性性質(zhì)，有限可加性，單調(diào)性和積分第一中值定理，并能運用這些性質(zhì)解決簡單問題。

(四)微積分學基本定理，定積分計算

理解變限積分的定義及原函數(shù)存在定理、微積分基本定理，熟練運用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分。

掌握定積分的換元積分法和分部積分法，熟練計算定積分。

(五)定積分在幾何上的應(yīng)用

會運用定積分計算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

(六)反常積分

理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義，并運用定義討論這兩類反常積分的收斂性。

第六章  無窮級數(shù)

一、考核的知識點

1．數(shù)項級數(shù)的收斂性。

2．正項級數(shù)。

3．一般項級數(shù)。

4．冪級數(shù)。

二、考核要求 

(一)數(shù)項級數(shù)的收斂性

1．了解常數(shù)項級數(shù)的定義。

2．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散的定義，了解級數(shù)收斂的性質(zhì)。

3．掌握幾何級數(shù)和P——級數(shù)的斂散性。

(二)正項級數(shù)

掌握正項級數(shù)收斂性判別法：比較原則、比式判別法、根式判別法。熟練地應(yīng)用比較原則、比式判別法、根式判別法判別正項級數(shù)的收斂性。

(三)一般項級數(shù)

1．理解交錯級數(shù)的定義。會用萊布尼茲判別法判別交錯級數(shù)收斂。

2．理解絕對收斂、條件收斂級數(shù)的定義及性質(zhì)。

(四)冪級數(shù)

1．了解函數(shù)項級數(shù)的定義。

2．理解冪級數(shù)、冪級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、收斂域的定義。

3．掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法。理解冪級數(shù)的性質(zhì)。

4．運用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項求導、逐項求積的性質(zhì)求級數(shù)的和函數(shù)。

5．運用麥克勞林級數(shù)、泰勒級數(shù)和已知函數(shù)ex，sinx， COSX，ln(1十x)，(1  x)’的展開式將函數(shù)展開成冪級數(shù)。

第七章  多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、考核的知識點

1．二元函數(shù)和n元函數(shù)。

2．二元函數(shù)的極限。

3．二元函數(shù)的連續(xù)性。

二、考核要求

(一)二元函數(shù)和n元函數(shù)

1．了解二元函數(shù)的定義，掌握二元函數(shù)定義域的求法。

2．了解三元函數(shù)、四元函數(shù)、…、多元函數(shù)的定義。

(二)二元函數(shù)的極限

理解二元函數(shù)重極限和累次極限的定義，掌握求二元函數(shù)的重極限與累次極限的方法。

(三)二元函數(shù)的連續(xù)性

1．理解二元函數(shù)連續(xù)的定義，運用定義討論簡單二元函數(shù)的連續(xù)性。

2．了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第八章  多元函數(shù)微分學

一、考核的知識點

1．多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分。

2．復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則。

3．多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用。

4．多元函數(shù)的極值。

二、考核要求

(一)多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分

1．理解二元函數(shù)的偏導數(shù)的定義，了解多元函數(shù)的偏導數(shù)。

2．掌握二元函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)的求法。

3．理解全微分的定義及其存在條件，理解可微、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系。

(二)復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則

1．掌握多元復合函數(shù)(最多三元)求偏導數(shù)、全微分的方法。

2．掌握隱函數(shù)求導數(shù)、偏導數(shù)的方法。

(三)多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用

掌握平面曲線的切線與法線方程、空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程的求法。

(四)多元函數(shù)的極值

掌握二元函數(shù)有極值的必要條件、充分條件及求無條件極值、最大值、最小值的方法。

第九章  重積分及其應(yīng)用

一、考核的知識點

1．重積分的概念與性質(zhì)。

2．二重積分的計算。

3．重積分的幾何應(yīng)用。

二、考核要求

(一)重積分的概念與性質(zhì)

理解二重積分的定義與性質(zhì)、幾何意義，了解三重積分的定義。

(二)二重積分的計算，

掌握二重積分的直角坐標、極坐標計算法。

(三)重積分的幾何應(yīng)用

掌握用重積分求空間曲面面積的方法。

第十章  曲線積分

一、考核的知識點

1．第一型曲線積分。

2．第二型曲線積分。

3．格林公式，第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

二、考核要求

(一)第一型曲線積分

1．理解第一型曲線積分的定義和性質(zhì)。

2．掌握第一型曲線積分的計算方法。

(二)第二型曲線積分

1．理解第二型曲線積分的定義和性質(zhì)。

2．掌握第二型曲線積分的計算方法。

(三)格林公式，第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件

掌握用格林公式計算第二型曲線積分的方法。理解曲線積分與路徑無關(guān)的條件。掌握求戶(x，y)dz+Q(x，y)dy的原函數(shù)的方法。

七、關(guān)于考試內(nèi)容及要求說明

由于各知識點在課程中的地位、作用及知識自身的特點不同，本考試中將對各知識點分別按四個認知層次確定其考核要求。這四個認知層次從低到高依次是：了解、理解、掌握、運用。它們之間是遞升的關(guān)系，后者必須建立在前者的基礎(chǔ)上，其含義分別是：

了解：對考試大綱中的知識點有清晰準確的認識并能作出正確的選擇和判斷。

理解：對考試大綱中的知識點有一定的理解，理解它與有關(guān)知識點的聯(lián)系與區(qū)別，并能給出正確的表述和解釋。

掌握：是在理解的基礎(chǔ)上，會用大綱中各部分少數(shù)幾個知識點解決簡單的計算、證明或應(yīng)用問題。

運用：是指能夠綜合運用多個知識點經(jīng)過分析、計算或推導解決較復雜的問題。

了解、理解、掌握、運用四個認知層次的試題在試卷中所占比例依次約為：5％、45％、30％、20％。