《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、考試形式考試采用閉卷、筆答的考試方式。滿分：150分(單科成績(jī))。考試時(shí)間：120分鐘。

二、試題難易程度分布較易試題約占50％中等試題約占30％較難試題約占20％

三、題型及題型分值分布單選題約占15％填空題約占25％計(jì)算題約占30％證明題約占15％綜合題約占15％

四、內(nèi)容比例第一章  函數(shù)與極限約占15％第二章  函數(shù)的連續(xù)性約占5％

第三章  導(dǎo)數(shù)和微分約占15％

第四章  不定積分約占10％

第五章  定積分及其應(yīng)用約占10％

第六章  無窮級(jí)數(shù)約占20％

第七章  多元函數(shù)的極限與連續(xù)約占5％

第八章  多元函數(shù)微分學(xué)約占5％

第九章  重積分及其應(yīng)用約占5％

第十章  曲線積分約占10％

五、參考教材

1．華東師大數(shù)學(xué)系編：《數(shù)學(xué)分析》，高等教育出版社2001年6月第3版。

2．劉玉璉、傅沛仁編：《數(shù)學(xué)分析講義》，高等教育出版社 1992年6月第3版。

3．張筑生編：《數(shù)學(xué)分析新講》，北京大學(xué)出版社1990年1月第1版。

4．華東師大數(shù)學(xué)系編：《高等數(shù)學(xué)》，華東師大出版社2008年3月第2版。

六、考試內(nèi)容

第一章  函數(shù)與極限

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．函數(shù)概念。

2．具有某些特性的函數(shù)。

3．?dāng)?shù)列極限。

4．函數(shù)極限。

二、考核要求

(一)函數(shù)的概念

1．掌握函數(shù)的定義、表示法及函數(shù)的二要素，掌握定義域和一些函數(shù)的值域的求法，掌握函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。

2．理解函數(shù)的四則運(yùn)算與反函數(shù)的概念，掌握反函數(shù)的求法。

3．掌握基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及圖像。

(二)具有某些特性的函數(shù)

1．掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)與周期函數(shù)定義，并會(huì)用定義判斷函數(shù)的類別。

(三)數(shù)列極限

1．理解數(shù)列極限的定義，會(huì)運(yùn)用定義證明較簡(jiǎn)單的問題。

2．理解數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號(hào)性、保序性、迫斂性、四則運(yùn)算定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。會(huì)運(yùn)用這些定理證明較簡(jiǎn)單的問題。

3．掌握數(shù)列極限的計(jì)算。 

(四)函數(shù)極限

1．理解函數(shù)極限的定義，理解函數(shù)左、右極限的定義，掌握函數(shù)極限limf(x)與相應(yīng)的左、右極限之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用函數(shù)極限的定義證明較簡(jiǎn)單的問題。

2．理解函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、局部保不等式性。

3．掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理、兩邊夾定理、海涅定理、

柯西準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限：。并

能運(yùn)用它們求極限。

4．理解無窮小量與無窮大量的定義、性質(zhì)，掌握無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系、無窮小量階的比較。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

第二章  函數(shù)的連續(xù)性

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．連續(xù)性的概念。

2．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．初等函數(shù)的連續(xù)性。

二、考核要求’

(一)連續(xù)性的概念

1．理解函數(shù)連續(xù)的定義。理解函數(shù)在點(diǎn)x0。處左、右連續(xù)的定義，掌握函數(shù)在點(diǎn)x0。處左、右連續(xù)與函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的關(guān)系。理解函數(shù)在點(diǎn)x0。處有定義、有極限、連續(xù)之間的關(guān)系。能正確判斷函數(shù)的連續(xù)區(qū)間或間斷點(diǎn)，尤其是分段函數(shù)在分段點(diǎn)上的連續(xù)性。

2．掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類。

(二)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1．理解連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，并能運(yùn)用它們解決有關(guān)問題。

2．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理，根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用。

3．理解一致連續(xù)的定義，掌握一致連續(xù)性定理。

(三)初等函數(shù)的連續(xù)性

1．理解基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù)。

2．理解任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

第三章  導(dǎo)數(shù)和微分

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．導(dǎo)數(shù)的概念。

2．求導(dǎo)法則。

3．高階導(dǎo)數(shù)。

4．微分。

5．微分中值定理。

6．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

二、考核要求

(一)導(dǎo)數(shù)的概念

1．掌握導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義。掌握左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)的定義，掌握函數(shù)在點(diǎn)x。的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)x。導(dǎo)數(shù)的存在性之間的關(guān)系。

2．理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

(二)求導(dǎo)法則

掌握基本求導(dǎo)公式，并能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)法則及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。掌握由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法。掌握分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法。

(三)高階導(dǎo)數(shù)

掌握函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)及簡(jiǎn)單函數(shù)的三階以上導(dǎo)數(shù)的求法。

(四)微分

1．掌握微分的定義、基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則。掌握簡(jiǎn)單函數(shù)高階微分的求法。

2．理解一元函數(shù)可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系。

(五)微分中值定理

理解費(fèi)馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件和結(jié)論，能運(yùn)用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。

(六)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．掌握洛必達(dá)法則，運(yùn)用洛必達(dá)法則求不定式的極限。

2．了解泰勒公式和麥克勞林公式。

3．掌握函數(shù)e“，sinx，COSX，ln(1+x)”的麥克勞林公式，能運(yùn)用它們求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的展開式。

4．掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的方法。

5．掌握運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法。

第四章  不定積分

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．不定積分概念與基本積分公式。

2．換元積分法與分部積分法。

3．有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分。

二、考核要求

(一)不定積分概念與基本積分公式

理解原函數(shù)、不定積分的定義與性質(zhì)。掌握基本積分表。

(二)換元積分法與分部積分法

掌握第一、第二換元積分法、分部積分法，并能運(yùn)用它們熟練計(jì)算不定積分。

(三)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分和部分可化為有理函數(shù)的積分的求法。

第五章  定積分及其應(yīng)用

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．定積分概念。

2．可積的條件，可積函數(shù)類。

3．定積分的性質(zhì)。

4．微積分學(xué)基本定理，定積分計(jì)算。

5．定積分在幾何上的應(yīng)用。

6．反常積分。

二、考核要求

(一)定積分概念

理解定積分的定義，掌握定積分的幾何意義。

(二)可積的條件、可積函數(shù)類

理解可積的條件，掌握三類可積函數(shù)。

(三)定積分的性質(zhì)

理解定積分的性質(zhì)：包括線性性質(zhì)，有限可加性，單調(diào)性和積分第一中值定理，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題。

(四)微積分學(xué)基本定理，定積分計(jì)算

理解變限積分的定義及原函數(shù)存在定理、微積分基本定理，熟練運(yùn)用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算定積分。

掌握定積分的換元積分法和分部積分法，熟練計(jì)算定積分。

(五)定積分在幾何上的應(yīng)用

會(huì)運(yùn)用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

(六)反常積分

理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義，并運(yùn)用定義討論這兩類反常積分的收斂性。

第六章  無窮級(jí)數(shù)

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。

2．正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

3．一般項(xiàng)級(jí)數(shù)。

4．冪級(jí)數(shù)。

二、考核要求 

(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性

1．了解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義。

2．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的定義，了解級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)。

3．掌握幾何級(jí)數(shù)和P——級(jí)數(shù)的斂散性。

(二)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法：比較原則、比式判別法、根式判別法。熟練地應(yīng)用比較原則、比式判別法、根式判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。

(三)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)

1．理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義。會(huì)用萊布尼茲判別法判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。

2．理解絕對(duì)收斂、條件收斂級(jí)數(shù)的定義及性質(zhì)。

(四)冪級(jí)數(shù)

1．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義。

2．理解冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、收斂域的定義。

3．掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法。理解冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

4．運(yùn)用冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積的性質(zhì)求級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

5．運(yùn)用麥克勞林級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)和已知函數(shù)ex，sinx， COSX，ln(1十x)，(1  x)’的展開式將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。

第七章  多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．二元函數(shù)和n元函數(shù)。

2．二元函數(shù)的極限。

3．二元函數(shù)的連續(xù)性。

二、考核要求

(一)二元函數(shù)和n元函數(shù)

1．了解二元函數(shù)的定義，掌握二元函數(shù)定義域的求法。

2．了解三元函數(shù)、四元函數(shù)、…、多元函數(shù)的定義。

(二)二元函數(shù)的極限

理解二元函數(shù)重極限和累次極限的定義，掌握求二元函數(shù)的重極限與累次極限的方法。

(三)二元函數(shù)的連續(xù)性

1．理解二元函數(shù)連續(xù)的定義，運(yùn)用定義討論簡(jiǎn)單二元函數(shù)的連續(xù)性。

2．了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第八章  多元函數(shù)微分學(xué)

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分。

2．復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

3．多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用。

4．多元函數(shù)的極值。

二、考核要求

(一)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分

1．理解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義，了解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

2．掌握二元函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

3．理解全微分的定義及其存在條件，理解可微、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系。

(二)復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1．掌握多元復(fù)合函數(shù)(最多三元)求偏導(dǎo)數(shù)、全微分的方法。

2．掌握隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)的方法。

(三)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

掌握平面曲線的切線與法線方程、空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程的求法。

(四)多元函數(shù)的極值

掌握二元函數(shù)有極值的必要條件、充分條件及求無條件極值、最大值、最小值的方法。

第九章  重積分及其應(yīng)用

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．重積分的概念與性質(zhì)。

2．二重積分的計(jì)算。

3．重積分的幾何應(yīng)用。

二、考核要求

(一)重積分的概念與性質(zhì)

理解二重積分的定義與性質(zhì)、幾何意義，了解三重積分的定義。

(二)二重積分的計(jì)算，

掌握二重積分的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)計(jì)算法。

(三)重積分的幾何應(yīng)用

掌握用重積分求空間曲面面積的方法。

第十章  曲線積分

一、考核的知識(shí)點(diǎn)

1．第一型曲線積分。

2．第二型曲線積分。

3．格林公式，第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

二、考核要求

(一)第一型曲線積分

1．理解第一型曲線積分的定義和性質(zhì)。

2．掌握第一型曲線積分的計(jì)算方法。

(二)第二型曲線積分

1．理解第二型曲線積分的定義和性質(zhì)。

2．掌握第二型曲線積分的計(jì)算方法。

(三)格林公式，第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件

掌握用格林公式計(jì)算第二型曲線積分的方法。理解曲線積分與路徑無關(guān)的條件。掌握求戶(x，y)dz+Q(x，y)dy的原函數(shù)的方法。

七、關(guān)于考試內(nèi)容及要求說明

由于各知識(shí)點(diǎn)在課程中的地位、作用及知識(shí)自身的特點(diǎn)不同，本考試中將對(duì)各知識(shí)點(diǎn)分別按四個(gè)認(rèn)知層次確定其考核要求。這四個(gè)認(rèn)知層次從低到高依次是：了解、理解、掌握、運(yùn)用。它們之間是遞升的關(guān)系，后者必須建立在前者的基礎(chǔ)上，其含義分別是：

了解：對(duì)考試大綱中的知識(shí)點(diǎn)有清晰準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)并能作出正確的選擇和判斷。

理解：對(duì)考試大綱中的知識(shí)點(diǎn)有一定的理解，理解它與有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系與區(qū)別，并能給出正確的表述和解釋。

掌握：是在理解的基礎(chǔ)上，會(huì)用大綱中各部分少數(shù)幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明或應(yīng)用問題。

運(yùn)用：是指能夠綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過分析、計(jì)算或推導(dǎo)解決較復(fù)雜的問題。

了解、理解、掌握、運(yùn)用四個(gè)認(rèn)知層次的試題在試卷中所占比例依次約為：5％、45％、30％、20％。