在行測(cè)考試中，常常會(huì)考察一些余數(shù)問(wèn)題，但往往余數(shù)問(wèn)題的求解不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單就能搞定的，那就需要大家有一定的方法和技巧，接下來(lái)就讓我們一起學(xué)習(xí)一下有關(guān)余數(shù)問(wèn)題的一些性質(zhì)。

一、同余概念

兩個(gè)整數(shù)a和b，除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱(chēng)a和b對(duì)于m同余。例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21對(duì)于4同余。

二、同余特性

(1)余數(shù)的和決定和的余數(shù);

例：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1。

(2)余數(shù)的差決定差的余數(shù);

例：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23-16=7 除以5的余數(shù)等于2，即兩個(gè)余數(shù)的差 3-1。

(3)余數(shù)的積決定積的余數(shù);

例： 23， 16 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余數(shù)等于 3×1=3。

(4)余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)。

例：求 20122012÷5的余數(shù)。

分析：一個(gè) 2012除以 5余 2，根據(jù)余數(shù)的積決定積得余數(shù)，所以20122012÷5余數(shù)為 22012 ，因?yàn)閷?duì)于此題，余數(shù)小于5，所以 22012還要繼續(xù)除以 5 求余數(shù)。

三、剩余定理

1、一般剩余問(wèn)題的通用形式

一個(gè)數(shù)除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿(mǎn)足該條件的最小數(shù)。

2、解法：逐步滿(mǎn)足法

【例1】：三位運(yùn)動(dòng)員跨臺(tái)階，臺(tái)階總數(shù)在 100-150 級(jí)之間，第一位運(yùn)動(dòng)員每次跨 3 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 2 級(jí)臺(tái)階。第二位運(yùn)動(dòng)員每次跨 4 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 3 級(jí)臺(tái)階。第三位運(yùn)動(dòng)員每次跨 5 級(jí)臺(tái)階，最后一步還剩 4 級(jí)臺(tái)階。問(wèn)：這些臺(tái)階總共有多少級(jí)?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】：A。

【解析】：由題意得，若多 1 級(jí)臺(tái)階，則運(yùn)動(dòng)員每次跨 3、 4、 5 級(jí)，均正好跨完所有臺(tái)階，即臺(tái)階數(shù)加 1 是 3、 4、 5 的倍數(shù)，所以臺(tái)階數(shù)可表示為 60n-1(n 為正整數(shù))，結(jié)合選項(xiàng)可知答案為 A。

【例2】：三位數(shù)的自然數(shù) N 滿(mǎn)足：除以 6 余 3，除以 5 余 3，除以 4 也余 3，則符合條件的自然數(shù) N 有幾個(gè)?

A.8 B.9 C.15 D.16

【答案】：C。

【解析】： 6、5、4 的最小公倍數(shù)是 60，由于這個(gè)三位數(shù)除以6、5、4所得余數(shù)都為3，則這個(gè)數(shù)可寫(xiě)成 60n+3 的形式，且 n 為整數(shù)。這個(gè)數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，滿(mǎn)足100≤60n+3≤999，解得 2≤n≤16，即符合題意的數(shù)共有 16-2+1=15 個(gè)。

【例3】：三位數(shù)的自然數(shù)P滿(mǎn)足：除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4，則符合條件的自然數(shù) P 有多少個(gè)?

A.15% B.20% C.25% D.27%

【答案】：B。

【解析】：先從最大的除數(shù)開(kāi)始滿(mǎn)足，滿(mǎn)足除以11余4的最小數(shù)為15，則11n+15都滿(mǎn)足這一條件，當(dāng)n=0、1、2、3時(shí)，均不滿(mǎn)足除以7余3，當(dāng)n=4時(shí)，11n+15=59，滿(mǎn)足除以 7余3，11和7的最小公倍數(shù)是77，則77n+59 都滿(mǎn)足這兩個(gè)條件。當(dāng)n=0時(shí)，59滿(mǎn)足除以 3余2，77和3的最小公倍數(shù)是231，則231n+59滿(mǎn)足以上三個(gè)條件。又因?yàn)镻為三位數(shù)，所以n只能取1、2、3、4，即符合條件的自然數(shù)P有4個(gè)，選擇B。